Hom の左完全性

1. $0 \to M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M''$ が完全なら、任意の $N$ について $0 \to \operatorname{Hom}_A(N, M') \xrightarrow{u_*} \operatorname{Hom}_A(N, M) \xrightarrow{v_*} \operatorname{Hom}_A(N, M'')$ は完全である。
2. $M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M'' \to 0$ が完全なら、任意の $N$ について $0 \to \operatorname{Hom}_A(M'', N) \xrightarrow{v^*} \operatorname{Hom}_A(M, N) \xrightarrow{u^*} \operatorname{Hom}_A(M', N)$ は完全である。

ここで $u_*(\varphi) = u \circ \varphi$、$u^*(\psi) = \psi \circ u$ である。