次元ずらし

$0 \to K \xrightarrow{i} P \to M \to 0$ を完全列とし、$P$ を射影加群とする。任意の $A$ 加群 $N$ について次が成り立つ。

1. $n \ge 1$ について $\operatorname{Tor}_{n+1}(M, N) \cong \operatorname{Tor}_n(K, N)$、$\operatorname{Ext}^{n+1}(M, N) \cong \operatorname{Ext}^n(K, N)$。
2. $\operatorname{Tor}_1(M, N) \cong \ker(i \otimes 1\colon K \otimes N \to P \otimes N)$、$\operatorname{Ext}^1(M, N) \cong \operatorname{Coker}(i^*\colon \operatorname{Hom}(P, N) \to \operatorname{Hom}(K, N))$。