数学 › 可換環論 › テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

Hom とテンソルの随伴

定理 2.6（「テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A$ 加群 $M, N, P$ について、 $\Phi(h)(m)(n) = h(m \otimes n)$ で定まる写像

\Phi\colon \operatorname{Hom}_A(M \otimes N, P) \to \operatorname{Hom}_A(M, \operatorname{Hom}_A(N, P))

は同型であり、 $M$ について自然である。すなわち準同型 $\alpha\colon M_1 \to M_2$ について $\Phi(h \circ (\alpha \otimes 1)) = \Phi(h) \circ \alpha$ が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題

これを使っている定理証明で参照している 3 件

テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理
テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
テンソル積の指標加群✓補題 4.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

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