テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで

0. この記事の要点

整数の世界で「2 倍する」写像は、情報を失わない（単射）ように見えます。ところが係数を $\mathbb{Z}/2$ に取り替えると、同じ「2 倍」がすべてを $0$ に潰してしまいます。この記事は、係数を取り替える操作（テンソル積）が「どんなときに情報を壊さないか」を調べる話です。読み終えると、その条件（平坦性）を、イデアルという小さな対象だけを見て判定できるようになります。

• 加群のテンソル積 $M \otimes_A N$ は双線形写像を線形写像に変える普遍的な加群（変換の入り口を一つにまとめる加群）で、体上のテンソル積の一般化です。$\operatorname{Hom}$ との随伴（$\operatorname{Hom}$ とテンソルが互いに裏返しの関係にあること） $\operatorname{Hom}(M \otimes N, P) \cong \operatorname{Hom}(M, \operatorname{Hom}(N, P))$ から右完全性が出ます。
• 射影加群は自由加群の直和因子（自由加群の一部分として切り出せるもの）、入射加群はその双対の概念で、Baer の判定法によりイデアルからの拡張だけを調べれば済みます。PID 上では入射と可除（0 でない $a$ 倍で割れること）が同値で、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は入射 $\mathbb{Z}$ 加群です。
• 平坦加群はテンソルが単射を保つ加群です。指標加群 $M^\vee = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ を使うと「$M$ 平坦 $\iff$ $M^\vee$ 入射 $\iff$ 有限生成イデアル $\mathfrak{a}$ で $\mathfrak{a} \otimes M \to M$ が単射」が Tor を使わずに示せます。
• 有限表示加群では「射影 $\iff$ 平坦 $\iff$ 局所自由」で、局所環上の有限生成射影加群は自由です。
• 忠実平坦は「テンソルして $0$ なら元から $0$」を加えた条件で、極大イデアル $\mathfrak{m}$ ごとの $\mathfrak{m}M \ne M$ と同値です。忠実平坦な環準同型は $\operatorname{Spec}$ の全射を与えます。

この記事で使う事前知識

• 完全列: 加群の列で、各所で「手前の写像の像 = 次の写像の核」になっているもの。→ 完全列
• 直和・自由加群: 直和は成分を並べてつくる加群、自由加群は基底をもつ加群（$A^n$ など）。→ 自由加群
• 有限表示: 有限個の生成元と有限個の関係式で書ける加群。→ 有限表示
• 局所化: 分母に積閉集合の元を許して環や加群を広げる操作。→ 局所化
• 局所環: 極大イデアルがただ一つの環。→ 局所環
• ベクトル空間のテンソル積: 双線形写像を線形写像に直す普遍性で定まる空間。→ テンソル積

1. 動機

前章で見たように、局所化 $M \mapsto S^{-1}M$ は完全列を保ちます。これを「係数の取り替え」と見ると、$S^{-1}M$ は $A$ 加群 $M$ の係数を $S^{-1}A$ に広げたものです。一般の環準同型 $A \to B$ に沿って係数を広げる操作がテンソル積 $B \otimes_A M$ です。たとえば実ベクトル空間 $V$ の複素化 $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} V$、整数係数の方程式を法 $p$ で考えること $\mathbb{F}_p \otimes_{\mathbb{Z}} M = M/pM$ は、どちらもテンソル積です。

ところが一般のテンソル積は単射を保ちません。$\mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z}$ は単射ですが、$\mathbb{Z}/2$ とテンソルすると零写像になります。局所化のようにすべての完全列を保つ「よい」係数拡大を平坦と呼びます。代数幾何では平坦性は「ファイバーが連続的に変化する」ことの代数的な表現で、基底変換やファイバーの議論の前提になります。この章では平坦性を、自由加群・射影加群・入射加群と比べながら特徴づけます。

以下、環はすべて単位元をもつ可換環で、記号 $\otimes$ は $\otimes_A$ を表します。完全列・分裂・局所化の記号は 前章 に従います。

2. テンソル積

定義 2.1（加群のテンソル積）↗

$M, N, P$ を $A$ 加群とする。写像 $\beta\colon M \times N \to P$ が各変数について $A$ 線形のとき 双線形という。$A$ 加群 $T$ と双線形写像 $\otimes\colon M \times N \to T$ の組が $M$ と $N$ のテンソル積であるとは、任意の $A$ 加群 $P$ と双線形写像 $\beta\colon M \times N \to P$ に対し、$\beta = \tilde\beta \circ \otimes$ となる準同型 $\tilde\beta\colon T \to P$ がただ一つ存在することをいう。$T$ を $M \otimes_A N$、$\otimes(m, n)$ を $m \otimes n$ と書く。

定義の言っていることは、次の図の三角形です。双線形写像 $\beta$ は、いったん $M \otimes N$ に入れてから線形写像 $\tilde\beta$ を施す形に、ただ一通りに書き直せます。

テンソル積の普遍性。点線の線形写像 $\tilde{\beta }$ が一意に存在して、$\beta =\tilde{\beta }\circ \otimes$ となる。

$A = K$ が体で $M, N$ が有限次元のとき、これは ベクトル空間のテンソル積（定義 3.1）［テンソル積と外積代数］ の 2 因子の場合そのものです。

定理 2.2（テンソル積の存在と一意性）✓

任意の $A$ 加群 $M, N$ についてテンソル積は存在し、$M \otimes N$ は純テンソル $m \otimes n$ で生成される。$(T, \otimes)$ と $(T', \otimes')$ がともにテンソル積なら、$\phi \circ \otimes = \otimes'$ を満たす同型 $\phi\colon T \to T'$ がただ一つ存在する。

証明（定理 2.2）

存在。 $M \times N$ の各元 $(m, n)$ を基底とする自由加群 $F = A^{(M \times N)}$ の基底を $e_{(m,n)}$ とします。$F$ の部分加群 $R$ を、次の形の元全体で生成されるものとします（$m, m' \in M$、$n, n' \in N$、$a \in A$）。

$$e_{(m+m',n)} - e_{(m,n)} - e_{(m',n)},\quad e_{(m,n+n')} - e_{(m,n)} - e_{(m,n')},\quad e_{(am,n)} - a\,e_{(m,n)},\quad e_{(m,an)} - a\,e_{(m,n)}$$

$T = F/R$、$m \otimes n = e_{(m,n)} + R$ とすると、$R$ の生成元のおかげで $\otimes$ は双線形です。双線形写像 $\beta\colon M \times N \to P$ に対し、補題 2.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1) で $e_{(m,n)} \mapsto \beta(m, n)$ となる $F \to P$ を取ると、$\beta$ の双線形性からこれは $R$ の生成元を $0$ に写すので、$\tilde\beta\colon T \to P$ を誘導し、$\tilde\beta(m \otimes n) = \beta(m, n)$ です。$T$ は $e_{(m,n)}$ の像、すなわち純テンソルで生成されるので、純テンソルでの値が決まれば $\tilde\beta$ は一意です。

一意性。 普遍性から $\phi\colon T \to T'$、$\phi'\colon T' \to T$ で $\phi \circ \otimes = \otimes'$、$\phi' \circ \otimes' = \otimes$ となるものがあります。$\phi'\phi \circ \otimes = \otimes = \mathrm{id}_T \circ \otimes$ なので、普遍性の一意性の部分から $\phi'\phi = \mathrm{id}_T$ で、同様に $\phi\phi' = \mathrm{id}_{T'}$ です。

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体上の有限次元の場合、ベクトル空間のテンソル積の存在（定理 3.2）［テンソル積と外積代数］ で作った空間とこの構成は、一意性によって同型です。準同型 $f\colon M \to M'$、$g\colon N \to N'$ に対し、双線形写像 $(m, n) \mapsto f(m) \otimes g(n)$ から $f \otimes g\colon M \otimes N \to M' \otimes N'$ が定まります。$f \otimes \mathrm{id}_N$ を $f \otimes 1$ とも書きます。純テンソルが生成するので、$M \otimes N$ の元は一般に $\sum_i m_i \otimes n_i$ と書けますが、この表示は一意ではありません。

命題 2.3（テンソル積の基本同型）✓

$A$ 加群 $M, N, P$、$M_i$、イデアル $\mathfrak{a}$、積閉集合 $S$ について、次の自然な同型がある。

1. $M \otimes N \cong N \otimes M$（$m \otimes n \mapsto n \otimes m$）。
2. $(M \otimes N) \otimes P \cong M \otimes (N \otimes P)$（$(m \otimes n) \otimes p \mapsto m \otimes (n \otimes p)$）。
3. $\bigl(\bigoplus_i M_i\bigr) \otimes N \cong \bigoplus_i (M_i \otimes N)$。
4. $A \otimes M \cong M$（$a \otimes m \mapsto am$）。
5. $(A/\mathfrak{a}) \otimes M \cong M/\mathfrak{a}M$（$\bar a \otimes m \mapsto \overline{am}$）。
6. $S^{-1}A \otimes M \cong S^{-1}M$（$(a/s) \otimes m \mapsto am/s$）。

証明（命題 2.3）

いずれも、双線形写像から 定理 2.2 の普遍性で写像を作り、逆向きの写像を構成して、合成が生成元（純テンソル）上で恒等であることを確かめます。

(1) $(m, n) \mapsto n \otimes m$ と $(n, m) \mapsto m \otimes n$ はともに双線形で、互いに逆の写像を与えます。

(2) $p$ を固定すると $(m, n) \mapsto m \otimes (n \otimes p)$ は双線形なので $\lambda_p\colon M \otimes N \to M \otimes (N \otimes P)$ が定まり、$(z, p) \mapsto \lambda_p(z)$ は双線形なので、$(m \otimes n) \otimes p \mapsto m \otimes (n \otimes p)$ となる準同型ができます。逆向きも同様に作れ、二つの合成は生成元 $(m \otimes n) \otimes p$、$m \otimes (n \otimes p)$ を固定します。

(3) $((m_i)_i, n) \mapsto (m_i \otimes n)_i$ は双線形（直和なので有限個を除き $0$）で、写像を定めます。逆向きは、包含 $\iota_j\colon M_j \to \bigoplus_i M_i$ から作った $\iota_j \otimes 1$ の和です。一方の合成は $(m_i)_i \otimes n \mapsto (m_i \otimes n)_i \mapsto \sum_j \iota_j(m_j) \otimes n = (m_i)_i \otimes n$（和は有限和）、他方は $j$ 成分だけが $m_j \otimes n$ の元を $\iota_j(m_j) \otimes n$ を経て自身に戻すので、どちらも生成元を固定します。

(4) $(a, m) \mapsto am$ は双線形で、逆は $m \mapsto 1 \otimes m$ です。$a \otimes m = 1 \otimes am$ なので両者は互いに逆です。

(5) $(\bar a, m) \mapsto \overline{am}$ は代表元によらず（$a \in \mathfrak{a}$ なら $am \in \mathfrak{a}M$）、双線形です。逆を $\bar m \mapsto \bar 1 \otimes m$ で定めると、$x \in \mathfrak{a}$ について $\bar 1 \otimes xm = \bar x \otimes m = 0$ なので、$\mathfrak{a}M$ 上で $0$ となり well-defined です。$\bar a \otimes m = \bar 1 \otimes am$ から互いに逆です。

(6) $(a/s, m) \mapsto am/s$ は双線形です。逆を $\psi(m/s) = (1/s) \otimes m$ で定めます。$u(s'm - sm') = 0$（$u \in S$）なら

$$\frac{1}{s} \otimes m = \frac{us'}{uss'} \otimes m = \frac{1}{uss'} \otimes us'm = \frac{1}{uss'} \otimes usm' = \frac{1}{s'} \otimes m'$$

なので well-defined で、$\psi(m/s + m'/s') = \frac{1}{ss'} \otimes (s'm + sm') = \psi(m/s) + \psi(m'/s')$ です。最初の写像を $\varphi$ とすると $\varphi\psi(m/s) = m/s$、$\psi\varphi((a/s) \otimes m) = (1/s) \otimes am = (a/s) \otimes m$ なので、互いに逆です。

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定義 2.4（係数の拡大と制限）↗

$\rho\colon A \to B$ を環準同型とする。$B$ 加群 $N$ は $a \cdot n = \rho(a)n$ で $A$ 加群になる（係数の制限）。$A$ 加群 $M$ に対し、$B \otimes_A M$ に $b \cdot (b' \otimes m) = bb' \otimes m$ で $B$ 加群の構造を入れたものを $M$ の係数の拡大（基底変換）という。$B$ を $\rho$ により $A$ 加群とみたもの（$A$ 代数）について、$A$ 代数 $B, C$ のテンソル積 $B \otimes_A C$ には $(b \otimes c)(b' \otimes c') = bb' \otimes cc'$ で環の構造が入る。

命題 2.5（係数の拡大の基本性質）✓

$\rho\colon A \to B$ を環準同型とする。

1. 定義 2.4 の $B$ 加群の構造と、$B \otimes_A C$ の積は well-defined である。
2. $B$ 加群 $N$ と $A$ 加群 $M$ について $N \otimes_B (B \otimes_A M) \cong N \otimes_A M$（$n \otimes (b \otimes m) \mapsto bn \otimes m$）。
3. $B \otimes_A A^n \cong B^n$、$B \otimes_A (A/\mathfrak{a}) \cong B/\mathfrak{a}B$。
4. 積閉集合 $S$ について $S^{-1}(N \otimes_A M) \cong S^{-1}N \otimes_{S^{-1}A} S^{-1}M$。

証明（命題 2.5）

(1) $b$ を固定すると $(b', m) \mapsto bb' \otimes m$ は $A$ 双線形なので、$B \otimes_A M$ の自己準同型 $\mu_b$ が定まります。$\mu_{bc} = \mu_b\mu_c$、$\mu_{b + c} = \mu_b + \mu_c$、$\mu_1 = \mathrm{id}$ は純テンソル上で確かめられ、これで $B$ 加群です。積も同様で、$(b', c')$ を固定して $(b, c) \mapsto bb' \otimes cc'$ から自己準同型 $r_{b',c'}$ を作り、$(b', c') \mapsto r_{b',c'}$ が $A$ 双線形であることから $r\colon B \otimes C \to \operatorname{End}_A(B \otimes C)$ を得て、$xy = r(y)(x)$ とおきます。$r$ と各 $r(y)$ が $A$ 線形なので、この積は well-defined で $A$ 双線形であり、純テンソルについて $(b \otimes c)(b' \otimes c') = bb' \otimes cc'$ です。結合律の両辺 $(xy)z$、$x(yz)$ はどちらも $(x, y, z)$ について $A$ 三重線形、可換律の両辺は $A$ 双線形、$x(1 \otimes 1)$ と $x$ は $A$ 線形で、$B \otimes C$ の元は純テンソルの和なので、これらの等式は純テンソル上で確かめれば十分です（純テンソル上では $B$、$C$ の積の結合律・可換律そのものです）。分配律は積の双線形性そのものです。

(2) $N$ は $\rho$ によって $A$ 加群で、$N \otimes_A M$ は (1) と同じ方法で $b(n \otimes m) = bn \otimes m$ により $B$ 加群になります。$(n, m) \mapsto n \otimes (1 \otimes m)$ は $A$ 双線形なので $\alpha\colon N \otimes_A M \to N \otimes_B (B \otimes_A M)$ が定まります。逆向きは、$n$ を固定して $(b, m) \mapsto bn \otimes m$ から $B \otimes_A M \to N \otimes_A M$ を作り、それが $n$ について $B$ 線形、第 2 変数についても $B$ 線形であることから $\beta\colon N \otimes_B (B \otimes_A M) \to N \otimes_A M$ を得ます。$\beta\alpha(n \otimes m) = n \otimes m$、$\alpha\beta(n \otimes (b \otimes m)) = bn \otimes (1 \otimes m) = n \otimes (b \otimes m)$ です。

(3) 命題 2.3 の (3)(4) から $B \otimes A^n \cong (B \otimes A)^n \cong B^n$、(1)(5) から $B \otimes (A/\mathfrak{a}) \cong (A/\mathfrak{a}) \otimes B \cong B/\mathfrak{a}B$ です。これらは $B$ 線形です。

(4) 命題 2.3 の (6)(2) と (2) を $B = S^{-1}A$ で使うと

$$S^{-1}(N \otimes M) \cong S^{-1}A \otimes (N \otimes M) \cong (S^{-1}A \otimes N) \otimes M \cong S^{-1}N \otimes_A M \cong S^{-1}N \otimes_{S^{-1}A} (S^{-1}A \otimes_A M) \cong S^{-1}N \otimes_{S^{-1}A} S^{-1}M$$

です。

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定理 2.6（Hom とテンソルの随伴）✓

$A$ 加群 $M, N, P$ について、$\Phi(h)(m)(n) = h(m \otimes n)$ で定まる写像

$$\Phi\colon \operatorname{Hom}_A(M \otimes N, P) \to \operatorname{Hom}_A(M, \operatorname{Hom}_A(N, P))$$

は同型であり、$M$ について自然である。すなわち準同型 $\alpha\colon M_1 \to M_2$ について $\Phi(h \circ (\alpha \otimes 1)) = \Phi(h) \circ \alpha$ が成り立つ。

証明（定理 2.6）

$h$ が準同型なので $\Phi(h)(m)$ は $N \to P$ の準同型で、$m \mapsto \Phi(h)(m)$ も $A$ 線形です。逆に $g\colon M \to \operatorname{Hom}(N, P)$ が与えられると、$(m, n) \mapsto g(m)(n)$ は双線形なので、定理 2.2 により $h(m \otimes n) = g(m)(n)$ となる $h$ がただ一つあります。これが $\Phi$ の逆です。自然性は両辺を $m \in M_1$、$n$ で評価すると $h(\alpha(m) \otimes n)$ になることからわかります。

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補題 2.7（Hom による完全性の判定）✓

列 $X' \xrightarrow{u} X \xrightarrow{v} X'' \to 0$ について、任意の $A$ 加群 $P$ に対し $0 \to \operatorname{Hom}(X'', P) \xrightarrow{v^*} \operatorname{Hom}(X, P) \xrightarrow{u^*} \operatorname{Hom}(X', P)$ が完全ならば、元の列は完全である。

証明（補題 2.7）

$P = X''/\operatorname{Im} v$ と射影 $q$ を取ると $v^*(q) = q \circ v = 0$ なので、$v^*$ の単射性から $q = 0$、すなわち $v$ は全射です。$P = X''$、$\mathrm{id}$ を取ると $u^*v^*(\mathrm{id}) = v \circ u = 0$ です。$P = X/\operatorname{Im} u$ と射影 $p$ を取ると $u^*(p) = 0$ なので $p = \psi \circ v$ と書け、$\ker v \subseteq \ker p = \operatorname{Im} u$ です。

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定理 2.8（テンソル積の右完全性）✓

$M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M'' \to 0$ が完全なら、任意の $A$ 加群 $N$ について

$$M' \otimes N \xrightarrow{u \otimes 1} M \otimes N \xrightarrow{v \otimes 1} M'' \otimes N \to 0$$

は完全である。命題 2.3 の (1) により、第 2 変数についても同様である。

証明（定理 2.8）

任意の $P$ を取り、$H = \operatorname{Hom}(N, P)$ とおきます。命題 4.3［加群・完全列・中山の補題］ の (2) により $0 \to \operatorname{Hom}(M'', H) \to \operatorname{Hom}(M, H) \to \operatorname{Hom}(M', H)$ は完全です。定理 2.6 の同型とその自然性により、これは $0 \to \operatorname{Hom}(M'' \otimes N, P) \to \operatorname{Hom}(M \otimes N, P) \to \operatorname{Hom}(M' \otimes N, P)$（写像は $(v \otimes 1)^*$、$(u \otimes 1)^*$）と同型な列なので、こちらも完全です。補題 2.7 から主張が従います。

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左側は一般に単射になりません。§1 の $\mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z}$ と $N = \mathbb{Z}/2$ が例で、命題 2.3 の (4) により $\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/2 \cong \mathbb{Z}/2$ で、誘導される写像は $2$ 倍、すなわち零写像です。

3. 射影加群と入射加群

定義 3.1（射影加群）↗

$A$ 加群 $P$ が射影的であるとは、任意の全射 $g\colon M \to N$ と準同型 $\varphi\colon P \to N$ に対し、$g \circ \psi = \varphi$ を満たす準同型 $\psi\colon P \to M$ が存在することをいう。

補題 3.2（直和と射影性）✓

射影加群の族 $(P_i)$ の直和は射影的であり、射影加群の直和因子は射影的である。とくに自由加群は射影的である。

証明（補題 3.2）

$\varphi\colon \bigoplus P_i \to N$ と全射 $g\colon M \to N$ が与えられたら、各 $\varphi \circ \iota_i$ を持ち上げた $\psi_i\colon P_i \to M$ を（族として 選択公理（公理 3.1）［選択公理と Zorn の補題］ で）選び、$\psi((x_i)) = \sum_i \psi_i(x_i)$ とすればよいです。$P = Q \oplus Q'$ で $\varphi\colon Q \to N$ なら、$\varphi \circ \mathrm{pr}_Q$ を $P$ から持ち上げて $Q$ に制限します。自由加群については 補題 2.5［加群・完全列・中山の補題］ の (2) そのものです。

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定理 3.3（射影加群の特徴づけ）✓

$A$ 加群 $P$ について次は同値である。

1. $P$ は射影的である。
2. 関手 $\operatorname{Hom}_A(P, -)$ は完全である。すなわち短完全列 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ を短完全列 $0 \to \operatorname{Hom}(P, M') \to \operatorname{Hom}(P, M) \to \operatorname{Hom}(P, M'') \to 0$ に写す。
3. 全射 $M \to P$ はすべて分裂する。
4. $P$ はある自由加群の直和因子である。

$P$ が有限生成なら、(4) の自由加群として $A^n$ を取れる。

証明（定理 3.3）

(1) ⇔ (2): 命題 4.3［加群・完全列・中山の補題］ の (1) により、残る条件は $\operatorname{Hom}(P, M) \to \operatorname{Hom}(P, M'')$ の全射性で、これは (1) の持ち上げの存在そのものです。

(1) ⇒ (3): 全射 $g\colon M \to P$ について $\mathrm{id}_P$ を持ち上げれば $g \circ s = \mathrm{id}_P$ となる $s$ が得られます。

(3) ⇒ (4): 補題 2.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1) で、$P$ の元（$P$ が有限生成なら生成元 $n$ 個）を基底に対応させた全射 $F \to P$ を作ります。(3) よりこれは分裂し、命題 4.4［加群・完全列・中山の補題］ により $F \cong P \oplus \ker(F \to P)$ です。

(4) ⇒ (1): 補題 3.2 です。

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定義 3.4（入射加群と可除加群）↗

$A$ 加群 $E$ が入射的であるとは、任意の単射 $i\colon M' \to M$ と準同型 $\varphi\colon M' \to E$ に対し、$\psi \circ i = \varphi$ を満たす準同型 $\psi\colon M \to E$ が存在することをいう。命題 4.3［加群・完全列・中山の補題］ の (2) と合わせると、これは $\operatorname{Hom}(-, E)$ が短完全列を短完全列に写すことと同値である。整域 $A$ 上の加群 $E$ が、$0$ でないすべての $a \in A$ について $aE = E$ を満たすとき可除という。

定理 3.5（Baer の判定法）✓

$A$ 加群 $E$ が入射的であるための必要十分条件は、$A$ の任意のイデアル $\mathfrak{a}$ と準同型 $\varphi\colon \mathfrak{a} \to E$ が $A \to E$ に拡張できること、すなわち $\varphi(a) = ae$（$a \in \mathfrak{a}$）となる $e \in E$ が存在することである。

証明の方針です。拡張できない状況から出発して、「拡張できる範囲を一元ずつ広げる」操作をくり返し、最後に全体へ届かせます。一元を足す一歩では、仮定（イデアルからの拡張）がちょうど使えます。くり返しが無限に続くときの終わらせ方に Zorn の補題を使い、拡張の組の全体に極大なものがあることを保証します。極大な組が全体でなければ、もう一元足せてしまうので矛盾する、という流れです。

証明（定理 3.5）

必要性は包含 $\mathfrak{a} \to A$ に定義を使えばわかります（拡張 $\psi$ について $e = \psi(1)$）。十分性を示します。単射 $i$ により $M' \subseteq M$ とみなし、$\varphi\colon M' \to E$ を拡張します。$M' \subseteq N \subseteq M$ となる部分加群 $N$ と $\varphi$ の拡張 $\psi\colon N \to E$ の組 $(N, \psi)$ 全体を $\Sigma$ とし、$(N, \psi) \le (N_1, \psi_1)$ を「$N \subseteq N_1$ かつ $\psi_1|_N = \psi$」で定めます。$(M', \varphi) \in \Sigma$ で、鎖の合併は（各元の値を鎖のどこかで決めることで）上界を与えます。Zorn の補題（定理 5.1）［選択公理と Zorn の補題］ により極大元 $(N, \psi)$ があります。

$N \ne M$ と仮定し、$x \in M \setminus N$ を取ります。$\mathfrak{a} = \{ a \in A : ax \in N \}$ はイデアルで、$a \mapsto \psi(ax)$ は $\mathfrak{a} \to E$ の準同型です。仮定から $\psi(ax) = ae$（$a \in \mathfrak{a}$）となる $e \in E$ があります。$N + Ax$ 上で $\psi'(n + bx) = \psi(n) + be$ と定めます。$n + bx = n' + b'x$ なら $(b - b')x = n' - n \in N$ なので $b - b' \in \mathfrak{a}$ で、$\psi(n') - \psi(n) = \psi((b - b')x) = (b - b')e$、すなわち $\psi(n) + be = \psi(n') + b'e$ です。よって $\psi'$ は well-defined な準同型で $(N, \psi)$ より真に大きい $\Sigma$ の元となり、極大性に反します。したがって $N = M$ です。

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命題 3.6（PID 上の入射加群）✓

1. $A$ が整域なら、入射 $A$ 加群は可除である。
2. $A$ が単項イデアル整域なら、可除 $A$ 加群は入射的である。
3. $\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$、および素数 $p$ に対する準巡回群 $\mathbb{Z}(p^\infty) = \{ x \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z} : \text{ある } n \text{ で } p^n x = 0 \}$ は入射 $\mathbb{Z}$ 加群である。

証明（命題 3.6）

(1) $E$ を入射的、$a \ne 0$、$e \in E$ とします。整域なので $ra \mapsto re$ は $(a) \to E$ の準同型として well-defined です（$ra = r'a$ なら $r = r'$）。定理 3.5 によりこれは $x \mapsto xe'$ の形に拡張され、$ae' = e$ です。

(2) PID（定義 7.1）［イデアルと剰余環］ のイデアルは $(a)$ の形です。$a = 0$ なら $\varphi = 0$ の拡張は $0$ です。$a \ne 0$ なら可除性から $ae = \varphi(a)$ となる $e$ を取ると、$\varphi(ra) = r\varphi(a) = (ra)e$ です。定理 3.5 より $E$ は入射的です。

(3) $\mathbb{Z}$ は PID なので、(2) により可除性を確かめれば十分です。$q \in \mathbb{Q}$、$n \ne 0$ なら $q = n(q/n)$ で、$\mathbb{Q}$ の可除性から商 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ も可除です。$\mathbb{Z}(p^\infty)$ については、$x$ の位数を $p^k$ とします。$n = p^j m$（$p \nmid m$）と書くと、$m$ は $\mathbb{Z}/p^k$ で可逆なので $x = m y$ となる $y \in \mathbb{Z}x$ があり、$y$ の位数も $p$ の冪です。さらに $y = c/p^k + \mathbb{Z}$ と書けば $y = p^j (c/p^{k+j} + \mathbb{Z})$ で、右辺の括弧は $\mathbb{Z}(p^\infty)$ の元です。よって $x = n z$ となる $z \in \mathbb{Z}(p^\infty)$ があります。

∎

一般の環上で入射加群を作るために、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ への準同型を使います。$A$ 加群 $M$ の指標加群を $M^\vee = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ とし、$(a\varphi)(m) = \varphi(am)$ で $A$ 加群とみなします。準同型 $f\colon M \to N$ に対し $f^\vee(\varphi) = \varphi \circ f$ とします。

補題 3.7（指標加群）✓

1. $M$ の $0$ でない元 $m$ に対し、$\varphi(m) \ne 0$ となる $\varphi \in M^\vee$ が存在する。
2. 列 $M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M''$ が $M$ で完全であることと、$M''^\vee \xrightarrow{v^\vee} M^\vee \xrightarrow{u^\vee} M'^\vee$ が $M^\vee$ で完全であることは同値である。とくに $u$ が単射であることと $u^\vee$ が全射であることは同値である。

指標加群を導入する理由は、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ が入射 $\mathbb{Z}$ 加群である（命題の (3)）ことを利用して、列の完全性を「$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ への写像の列」の完全性に言い換えるためです。(1) は十分多くの写像があること、(2) は列を裏返しても完全性が保たれ、しかも逆も成り立つことを述べています。後で平坦性の判定を、入射性（Baer の判定法）に翻訳するときに使います。

証明（補題 3.7）

(1) 巡回群 $\mathbb{Z}m$ は $\mathbb{Z}$ か $\mathbb{Z}/n$（$n \ge 2$）に同型です。前者なら $m \mapsto 1/2 + \mathbb{Z}$、後者なら $m \mapsto 1/n + \mathbb{Z}$ で $\mathbb{Z}m \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ の準同型が定まり、$m$ の像は $0$ ではありません。命題 3.6 の (3) により $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は入射 $\mathbb{Z}$ 加群なので、これを $M \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ に拡張できます。

(2) 一般に $E$ を入射 $\mathbb{Z}$ 加群とし、$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(-, E)$ が $M$ での完全性を保つことを示します。$vu = 0$ から $u^\vee v^\vee = 0$ です。$\varphi \circ u = 0$ なら $\varphi$ は $\ker v = \operatorname{Im} u$ 上で $0$ なので、$\bar\varphi(v(x)) = \varphi(x)$ が $\operatorname{Im} v \to E$ を定め、$E$ の入射性により $M''$ 全体に拡張できて $\varphi = \bar\varphi \circ v$ です。

逆に双対の列が完全だとします。$vu \ne 0$ なら $vu(x') \ne 0$ となる $x'$ があり、(1) で $\varphi(vu(x')) \ne 0$ となる $\varphi \in M''^\vee$ を取ると $u^\vee v^\vee(\varphi) \ne 0$ となって矛盾します。$x \in \ker v \setminus \operatorname{Im} u$ があるとすると、(1) を $M/\operatorname{Im} u$ の $0$ でない元 $\bar x$ に使って $\bar\varphi(\bar x) \ne 0$ となる $\bar\varphi$ を取り、$\varphi = \bar\varphi \circ (\text{射影})$ とおくと $\varphi \circ u = 0$ です。完全性から $\varphi = \psi \circ v$ と書け、$\varphi(x) = \psi(v(x)) = 0$ となって矛盾します。最後の主張は、列 $0 \to M' \xrightarrow{u} M$ に適用したものです（$0^\vee = 0$ です）。

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補題 3.8（余誘導加群）✓

$D$ を入射 $\mathbb{Z}$ 加群とする。$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(A, D)$ に $(bf)(a) = f(ab)$ で $A$ 加群の構造を入れると、これは入射 $A$ 加群であり、任意の $A$ 加群 $X$ について $\operatorname{Hom}_A(X, \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(A, D)) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(X, D)$（$g \mapsto (x \mapsto g(x)(1))$）が $X$ について自然に成り立つ。入射加群の族の直積は入射的である。

証明（補題 3.8）

逆写像は $h \mapsto G_h$、$G_h(x)(a) = h(ax)$ です。$G_h$ が $A$ 線形であることは $(b \cdot G_h(x))(a) = G_h(x)(ab) = h(abx) = G_h(bx)(a)$ からわかり、$G_h(x)(1) = h(x)$ です。逆に $g$ が $A$ 線形なら $g(x)(a) = (a g(x))(1) = g(ax)(1)$ なので $G_{h}= g$（$h(x) = g(x)(1)$）で、二つの写像は互いに逆です。自然性（$\alpha\colon X_1 \to X_2$ について $g \circ \alpha \mapsto (x \mapsto g(\alpha(x))(1))$ となること）は対応の式に $\alpha(x)$ を代入するだけです。単射 $i\colon X' \to X$ と $g\colon X' \to \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(A, D)$ が与えられたら、対応する $h\colon X' \to D$ を $D$ の入射性で $X$ に拡張し、それに対応する $A$ 準同型を取れば、自然性により $g$ の拡張になります。直積については、各成分ごとに拡張を選べばよいです。

∎

定理 3.9（入射加群への埋め込み）✓

任意の $A$ 加群 $M$ は、ある入射 $A$ 加群の部分加群に同型である。

証明（定理 3.9）

$I = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ は 補題 3.8 と 命題 3.6 の (3) により入射 $A$ 加群で、直積 $I^{M^\vee} = \prod_{\varphi \in M^\vee} I$ も入射的です。

$$\Theta\colon M \to \prod_{\varphi \in M^\vee} I, \qquad \Theta(m)_\varphi(a) = \varphi(am)$$

は $A$ 線形です（$\Theta(bm)_\varphi(a) = \varphi(abm) = (b\,\Theta(m)_\varphi)(a)$）。$m \ne 0$ なら 補題 3.7 の (1) により $\varphi(m) \ne 0$ となる $\varphi$ があり、$\Theta(m)_\varphi(1) \ne 0$ です。よって $\Theta$ は単射です。

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この定理は、Tor・Ext と深さ の章で $\operatorname{Ext}$ を入射分解で計算するときの出発点になります。

4. 平坦加群

定義 4.1（平坦加群）↗

$A$ 加群 $M$ が平坦であるとは、任意の単射 $N' \to N$ について $N' \otimes M \to N \otimes M$ が単射であることをいう。定理 2.8 と合わせると、これは $- \otimes M$ が短完全列を短完全列に写すことと同値である。環準同型 $A \to B$ は、$B$ が $A$ 加群として平坦なとき平坦であるという。

補題 4.2（テンソル積の指標加群）✓

$A$ 加群 $M, N$ について、$N$ について自然な同型 $(N \otimes M)^\vee \cong \operatorname{Hom}_A(N, M^\vee)$ がある。

証明（補題 4.2）

$I = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ とすると、補題 3.8、定理 2.6、ふたたび 補題 3.8 により

$$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(N \otimes M, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \cong \operatorname{Hom}_A(N \otimes M, I) \cong \operatorname{Hom}_A(N, \operatorname{Hom}_A(M, I)) \cong \operatorname{Hom}_A(N, M^\vee)$$

です。最後の同型では $\operatorname{Hom}_A(M, I) \cong M^\vee$（$g \mapsto (m \mapsto g(m)(1))$）が $A$ 線形であることを使いました（$(bg)(m)(1) = g(bm)(1)$ は $M^\vee$ での $b$ の作用に一致します）。どの同型も $N$ について自然です。

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定理 4.3（平坦性のイデアル判定）✓

$A$ 加群 $M$ について次は同値である。

1. $M$ は平坦である。
2. 指標加群 $M^\vee$ は入射 $A$ 加群である。
3. $A$ の任意のイデアル $\mathfrak{a}$ について、$\mathfrak{a} \otimes M \to A \otimes M = M$ は単射である。
4. $A$ の任意の有限生成イデアル $\mathfrak{a}$ について、$\mathfrak{a} \otimes M \to M$ は単射である。

このとき $\mathfrak{a} \otimes M \cong \mathfrak{a}M$ である。

証明（定理 4.3）

(1) ⇔ (2): 単射 $i\colon N' \to N$ について、補題 3.7 の (2) により、$i \otimes 1$ が単射であることと $(i \otimes 1)^\vee\colon (N \otimes M)^\vee \to (N' \otimes M)^\vee$ が全射であることは同値です。補題 4.2 とその自然性により、後者は $i^*\colon \operatorname{Hom}(N, M^\vee) \to \operatorname{Hom}(N', M^\vee)$ が全射であることと同値です。すべての単射 $i$ についてこれが成り立つことが、それぞれ (1) と (2) です。

(1) ⇒ (4): 包含 $\mathfrak{a} \to A$ は単射なので、平坦性の定義から $\mathfrak{a} \otimes M \to A \otimes M = M$ は単射です。

(4) ⇒ (3): $z \in \mathfrak{a} \otimes M$ が $M$ で $0$ に写るとします。$z = \sum_{i=1}^n a_i \otimes m_i$ と書き、$\mathfrak{b} = (a_1, \ldots, a_n) \subseteq \mathfrak{a}$ とすると、$z' = \sum a_i \otimes m_i \in \mathfrak{b} \otimes M$ は包含 $\mathfrak{b} \to \mathfrak{a}$ から誘導される写像で $z$ に写り、$M$ では $0$ に写ります。(4) より $z' = 0$、したがって $z = 0$ です。

(3) ⇒ (2): 定理 3.5 を使います。$\mathfrak{a} \otimes M \to M$ が単射なので、補題 3.7 の (2) により $M^\vee = (A \otimes M)^\vee \to (\mathfrak{a} \otimes M)^\vee$ は全射で、補題 4.2 により $\operatorname{Hom}(A, M^\vee) \to \operatorname{Hom}(\mathfrak{a}, M^\vee)$ が全射です。これは $\mathfrak{a}$ からの準同型がすべて $A$ に拡張できることを意味します。

最後の主張: $\mathfrak{a} \otimes M \to M$ の像は $\mathfrak{a}M$ なので、単射ならこれは同型 $\mathfrak{a} \otimes M \cong \mathfrak{a}M$ です。

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命題 4.4（平坦性の基本性質）✓

1. 平坦加群の直和は平坦であり、平坦加群の直和因子は平坦である。とくに自由加群と射影加群は平坦である。
2. 積閉集合 $S$ について、$S^{-1}A$ は平坦 $A$ 加群である。
3. （平坦基底変換）$M$ が平坦 $A$ 加群なら、環準同型 $A \to B$ について $B \otimes_A M$ は平坦 $B$ 加群である。
4. $A \to B$ が平坦で $N$ が平坦 $B$ 加群なら、$N$ は平坦 $A$ 加群である。
5. $M$ が平坦であることと、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $M_{\mathfrak{p}}$ が平坦 $A_{\mathfrak{p}}$ 加群であることと、すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $M_{\mathfrak{m}}$ が平坦 $A_{\mathfrak{m}}$ 加群であることは同値である。

証明（命題 4.4）

(1) 命題 2.3 の (3) により、$N' \otimes \bigoplus M_i \to N \otimes \bigoplus M_i$ は成分ごとの写像 $N' \otimes M_i \to N \otimes M_i$ の直和と同一視され、直和写像が単射であることと各成分が単射であることは同値です。$A$ は (4) の $A \otimes N \cong N$ により平坦なので、自由加群は平坦で、定理 3.3 の (4) により射影加群も平坦です。

(2) 命題 2.3 の (6) により $- \otimes S^{-1}A$ は局所化 $N \mapsto S^{-1}N$ と（自然に）同一視され、定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］ によりこれは単射を保ちます。

(3) $B$ 加群の単射 $N' \to N$ について、命題 2.5 の (2) により $N' \otimes_B (B \otimes_A M) \to N \otimes_B (B \otimes_A M)$ は $N' \otimes_A M \to N \otimes_A M$ と同一視され、$M$ の平坦性から単射です。

(4) $A$ 加群の単射 $N' \to N$ について、$N' \otimes_A B \to N \otimes_A B$ は単射で、さらに $\otimes_B N$ も単射を保ちます。命題 2.5 の (2) と 命題 2.3 の (1) から $(N' \otimes_A B) \otimes_B N \cong N' \otimes_A N$ なので、$N' \otimes_A N \to N \otimes_A N$ は単射です。

(5) 平坦なら (3) と 命題 2.3 の (6)（$A_{\mathfrak{p}} \otimes M \cong M_{\mathfrak{p}}$）により $M_{\mathfrak{p}}$ は平坦です。極大イデアルは素イデアルなので、素イデアルについての条件から極大イデアルについての条件が出ます。最後の条件を仮定し、単射 $N' \to N$ の $\otimes M$ の核を $K$ とします。定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］ と 命題 2.5 の (4) により、$K_{\mathfrak{m}}$ は $N'_{\mathfrak{m}} \otimes_{A_{\mathfrak{m}}} M_{\mathfrak{m}} \to N_{\mathfrak{m}} \otimes_{A_{\mathfrak{m}}} M_{\mathfrak{m}}$ の核で、$N'_{\mathfrak{m}} \to N_{\mathfrak{m}}$ は単射、$M_{\mathfrak{m}}$ は平坦なので $K_{\mathfrak{m}} = 0$ です。定理 5.3［加群・完全列・中山の補題］ により $K = 0$ です。

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補題 4.5（平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する）✓

$M$ を平坦加群、$N' \xrightarrow{u} N \xrightarrow{v} N''$ を準同型の列（$vu = 0$）とし、$H = \ker v/\operatorname{Im} u$ とする。このとき $(\ker v) \otimes M \to N \otimes M$ と $(\operatorname{Im} u) \otimes M \to N \otimes M$ は単射で、その像はそれぞれ $\ker(v \otimes 1)$、$\operatorname{Im}(u \otimes 1)$ に等しく、$H \otimes M \cong \ker(v \otimes 1)/\operatorname{Im}(u \otimes 1)$ である。

証明（補題 4.5）

短完全列 $0 \to \ker v \to N \to \operatorname{Im} v \to 0$ に $\otimes M$ を施すと完全で、$\operatorname{Im} v \otimes M \to N'' \otimes M$ は（包含の像なので）単射です。よって $v \otimes 1$ の核は $\ker v \otimes M$ の像です。また $N' \to \operatorname{Im} u$ は全射なので $N' \otimes M \to \operatorname{Im} u \otimes M$ は全射（定理 2.8）で、$\operatorname{Im} u \otimes M \to N \otimes M$ は単射なので、$u \otimes 1$ の像は $\operatorname{Im} u \otimes M$ の像です。最後に $0 \to \operatorname{Im} u \to \ker v \to H \to 0$ に $\otimes M$ を施した短完全列から $H \otimes M \cong \ker(v \otimes 1)/\operatorname{Im}(u \otimes 1)$ を得ます。

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補題 4.6（平坦な商をもつ短完全列）✓

$0 \to K \to F \to M \to 0$ を短完全列とし、$M$ が平坦であるとする。このとき任意の $A$ 加群 $N$ について $0 \to K \otimes N \to F \otimes N \to M \otimes N \to 0$ は完全である。

この補題は、次の節で $K/\mathfrak{m}K \to k^n$ が単射であることを言うために使います。証明は、$K, F, M$ と $K', L, N$ の組合せで $3 \times 3$ の表を作り、$K \otimes N$ の元を表の中で順に移していって $0$ になることを確かめる、という元の追跡です。出てくる写像は、行方向と列方向のテンソルで決まるものだけです。

証明（補題 4.6）

右完全性（定理 2.8）により、$K \otimes N \to F \otimes N$ の単射性を示せば十分です。補題 2.5［加群・完全列・中山の補題］ で自由加群 $L$ からの全射 $L \to N$ を取り、その核を $K'$ とします。行を $K, F, M$、列を $K', L, N$ とする $3 \times 3$ の図式 $X \otimes Y$ を考えると、次の完全性がわかっています。

• $M \otimes K' \to M \otimes L$ は単射（$M$ が平坦）。
• $0 \to K \otimes L \to F \otimes L \to M \otimes L \to 0$ は完全（$L$ は自由なので 命題 4.4 の (1) により平坦）。
• $K \otimes K' \to F \otimes K' \to M \otimes K' \to 0$、$F \otimes K' \to F \otimes L \to F \otimes N \to 0$ は完全で、$K \otimes L \to K \otimes N$ は全射（右完全性）。

$x \in K \otimes N$ が $F \otimes N$ で $0$ に写るとします。$K \otimes L \to K \otimes N$ は全射なので $x$ は $y \in K \otimes L$ の像です。$y$ の $F \otimes L$ での像 $y_F$ は $F \otimes N$ で $0$ に写るので、$z \in F \otimes K'$ の像です。$z$ の $M \otimes K'$ での像は、$M \otimes L$ に送ると $y_F$ の像、すなわち $y$ の $K \otimes L \to F \otimes L \to M \otimes L$ での像に一致し、これは $0$ です。$M \otimes K' \to M \otimes L$ は単射なので $z$ は $M \otimes K'$ で $0$ に写り、$z$ は $w \in K \otimes K'$ の像です。$y$ と $w$ の $K \otimes L$ での像 $w_L$ は、$F \otimes L$ で同じ元 $y_F$ に写る（図式の可換性）ので、$K \otimes L \to F \otimes L$ の単射性から $y = w_L$ です。よって $x$ は $w$ の $K \otimes K' \to K \otimes L \to K \otimes N$ による像で、$K' \to L \to N$ の合成は $0$ なので $x = 0$ です。

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5. 有限射影加群と局所自由性

定理 5.1（局所環上の有限射影加群は自由）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を局所環とする。有限表示の平坦 $A$ 加群は自由である。とくに、有限生成の射影 $A$ 加群は自由である。

証明の方針です。極小個の生成元で全射 $A^n \to M$ を作り、その核 $K$ が $0$ であることを示します。平坦性のおかげで、$k = A/\mathfrak{m}$ とテンソルしても列は完全のままなので、次元の比較から $K/\mathfrak{m}K = 0$ が出て、中山の補題で $K = 0$ になります。

証明（定理 5.1）

$M$ を有限表示の平坦加群とし、系 3.6［加群・完全列・中山の補題］ により極小生成系 $x_1, \ldots, x_n$ を取ります（$n = \dim_k M/\mathfrak{m}M$）。全射 $\pi\colon A^n \to M$、$e_i \mapsto x_i$ の核を $K$ とすると、補題 5.6［加群・完全列・中山の補題］ の (2) により $K$ は有限生成です。補題 4.6 を $N = k$ に使うと、命題 2.3 の (5) により

$$0 \to K/\mathfrak{m}K \to k^n \to M/\mathfrak{m}M \to 0$$

は完全です。右の写像は全射で両辺の次元が $n$ なので、次元定理（定理 7.3）［ベクトル空間と線形変換］ により単射、したがって $K/\mathfrak{m}K = 0$ です。定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ により $K = 0$ で、$M \cong A^n$ です。

有限生成の射影加群 $P$ は、定理 3.3 により $P \oplus Q \cong A^n$ と書け、$Q$ は $A^n$ の射影の像なので有限生成です。$A^n \to Q \to A^n \to P$（射影、包含、射影）から完全列 $A^n \to A^n \to P \to 0$ が得られるので $P$ は有限表示で、命題 4.4 の (1) により平坦です。

∎

定理 5.2（有限表示加群の平坦性・射影性・局所自由性）✓

有限表示 $A$ 加群 $M$ について次は同値である。

1. $M$ は射影的である。
2. $M$ は平坦である。
3. すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $M_{\mathfrak{p}}$ は自由 $A_{\mathfrak{p}}$ 加群である。
4. すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $M_{\mathfrak{m}}$ は自由 $A_{\mathfrak{m}}$ 加群である。

証明（定理 5.2）

(1) ⇒ (2) は 命題 4.4 の (1) です。

(2) ⇒ (3): 命題 4.4 の (5) により $M_{\mathfrak{p}}$ は平坦です。表示 $A^m \to A^n \to M \to 0$ を局所化すると 定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］ により $A_{\mathfrak{p}}^m \to A_{\mathfrak{p}}^n \to M_{\mathfrak{p}} \to 0$ が完全なので $M_{\mathfrak{p}}$ は有限表示で、定理 5.1 により自由です。

(3) ⇒ (4) は、極大イデアルが素イデアルであることから従います。

(4) ⇒ (1): 定理 3.3 の (2) を示します。全射 $g\colon N \to N''$ について、$g_*\colon \operatorname{Hom}(M, N) \to \operatorname{Hom}(M, N'')$ の余核を $C$ とします。局所化は完全なので $C_{\mathfrak{m}}$ は $(g_*)_{\mathfrak{m}}$ の余核で、命題 5.5［加群・完全列・中山の補題］ の同型 $\theta$（$\theta(\varphi/s)$ は $\varphi$ を局所化したもので、$g$ との合成と交換する）により、これは $\operatorname{Hom}(M_{\mathfrak{m}}, N_{\mathfrak{m}}) \to \operatorname{Hom}(M_{\mathfrak{m}}, N''_{\mathfrak{m}})$ の余核と同型です。$M_{\mathfrak{m}}$ は自由、したがって射影的（補題 3.2）で、$g_{\mathfrak{m}}$ は全射なので、この余核は $0$ です。定理 5.3［加群・完全列・中山の補題］ により $C = 0$ です。

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定義 5.3（有限射影加群の階数）↗

$P$ を有限生成射影 $A$ 加群とする。各素イデアル $\mathfrak{p}$ について $P_{\mathfrak{p}}$ は有限生成の自由 $A_{\mathfrak{p}}$ 加群で、$P_{\mathfrak{p}} \cong A_{\mathfrak{p}}^r$ の $r$ を $\operatorname{rank}_{\mathfrak{p}} P$ と書く。$r$ は $\kappa(\mathfrak{p}) = A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ 上の $P_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}P_{\mathfrak{p}} \cong \kappa(\mathfrak{p})^r$ の次元なので、次元の一意性（定理 5.5）［ベクトル空間と線形変換］ により $\mathfrak{p}$ だけで定まる。

$P_{\mathfrak{p}}$ が自由であることは、$P \oplus Q \cong A^n$ を局所化すると $P_{\mathfrak{p}}$ が $A_{\mathfrak{p}}^n$ の直和因子、すなわち有限生成射影 $A_{\mathfrak{p}}$ 加群になることと 定理 5.1 からわかります。

命題 5.4（階数は局所定数）✓

有限生成射影 $A$ 加群 $P$ について、$\mathfrak{p} \mapsto \operatorname{rank}_{\mathfrak{p}} P$ は $\operatorname{Spec} A$ 上の局所定数関数である。とくに $\operatorname{Spec} A$ が連結なら階数は一定である。

証明（命題 5.4）

まず、有限生成加群 $M$ と素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$M_{\mathfrak{p}}$ が $n$ 個の元で生成されるなら、ある $f \notin \mathfrak{p}$ があって $D(f)$ のすべての $\mathfrak{q}$ で $M_{\mathfrak{q}}$ が $n$ 個の元で生成されることを示します。生成元は分母の単元を払って $x_i/1$（$x_i \in M$）の形に取れます。$\varphi\colon A^n \to M$、$e_i \mapsto x_i$ の余核 $C$ は有限生成で、局所化の完全性から $C_{\mathfrak{p}} = 0$ です。命題 5.4［加群・完全列・中山の補題］ により $\mathfrak{p} \notin V(\operatorname{Ann} C)$ なので $f \in \operatorname{Ann} C \setminus \mathfrak{p}$ が取れ、$\mathfrak{q} \in D(f)$ では $f \notin \mathfrak{q}$ から $C_{\mathfrak{q}} = 0$、すなわち $\varphi_{\mathfrak{q}}$ は全射です。

自由加群 $A_{\mathfrak{q}}^r$ が $n$ 個の元で生成されれば、$\kappa(\mathfrak{q})^r$ も $n$ 個の元で張られるので $r \le n$ です。

さて $P \oplus Q \cong A^m$ とし、$\mathfrak{p}$ での階数を $n = \operatorname{rank}_{\mathfrak{p}} P$ とすると、局所化して剰余体とのテンソルを取れば $\operatorname{rank}_{\mathfrak{q}} P + \operatorname{rank}_{\mathfrak{q}} Q = m$ がすべての $\mathfrak{q}$ で成り立ちます。上の議論を $P$（生成元 $n$ 個）と $Q$（生成元 $m - n$ 個）に使って $f, g \notin \mathfrak{p}$ を取ると、$D(fg) = D(f) \cap D(g)$ 上で $\operatorname{rank} P \le n$、$\operatorname{rank} Q \le m - n$ で、和が $m$ なので等号が成り立ちます。$D(fg)$ は $\mathfrak{p}$ の開近傍です。連結な空間上の局所定数関数は一定です（値ごとの逆像が開かつ閉な集合に分かれるからです）。

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6. 忠実平坦性

定義 6.1（忠実平坦）↗

平坦 $A$ 加群 $M$ が、任意の $A$ 加群 $N$ について $N \otimes M = 0 \Rightarrow N = 0$ を満たすとき、忠実平坦であるという。環準同型 $A \to B$ は、$B$ が忠実平坦 $A$ 加群のとき忠実平坦であるという。

定理 6.2（忠実平坦の特徴づけ）✓

平坦 $A$ 加群 $M$ について次は同値である。

1. $M$ は忠実平坦である。
2. 任意の列 $N' \to N \to N''$ について、それが $N$ で完全であることと、$\otimes M$ を施した列が $N \otimes M$ で完全であることは同値である。
3. $A$ のすべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $\mathfrak{m}M \ne M$ である。

証明（定理 6.2）

(1) ⇒ (2): 列を $N' \xrightarrow{u} N \xrightarrow{v} N''$ とします。完全なら、補題 4.5 により $\otimes M$ 後のホモロジーは $H \otimes M = 0$ です（$H = \ker v/\operatorname{Im} u = 0$）。逆に $\otimes M$ 後の列が完全だとします。$I = \operatorname{Im}(vu)$ について、同じ補題（列 $N' \xrightarrow{vu} N''$ の像の部分）から $I \otimes M$ は $\operatorname{Im}((v \otimes 1)(u \otimes 1)) = 0$ と同型なので、(1) より $I = 0$、すなわち $vu = 0$ です。すると $H \otimes M \cong \ker(v \otimes 1)/\operatorname{Im}(u \otimes 1) = 0$ なので $H = 0$ です。

(2) ⇒ (1): $N \otimes M = 0$ なら、列 $0 \to N \to 0$ に $\otimes M$ を施した $0 \to 0 \to 0$ は完全なので、$0 \to N \to 0$ も完全、すなわち $N = 0$ です。

(1) ⇒ (3): 命題 2.3 の (5) により $(A/\mathfrak{m}) \otimes M \cong M/\mathfrak{m}M$ で、$A/\mathfrak{m} \ne 0$ なので $M/\mathfrak{m}M \ne 0$ です。

(3) ⇒ (1): $N \ne 0$ とし、$x \in N$ を $0$ でない元とします。$\mathfrak{a} = \operatorname{Ann}(x)$ は真のイデアルで、$Ax \cong A/\mathfrak{a}$ です（準同型定理（定理 2.3）［加群と PID 上の構造定理］）。極大イデアルの存在（定理 6.5）［選択公理と Zorn の補題］ により $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m}$ となる極大イデアル $\mathfrak{m}$ があります。$M$ は平坦なので $Ax \otimes M \to N \otimes M$ は単射で、$Ax \otimes M \cong M/\mathfrak{a}M$ は全射 $M/\mathfrak{a}M \to M/\mathfrak{m}M \ne 0$ をもつので $0$ ではありません。よって $N \otimes M \ne 0$ です。

∎

系 6.3（平坦な局所準同型と Spec の全射性）✓

1. $(A, \mathfrak{m}) \to (B, \mathfrak{n})$ を局所環の間の環準同型で $\mathfrak{m}$ の像が $\mathfrak{n}$ に含まれるもの（局所準同型）とする。$B$ が $A$ 上平坦なら、$B$ は $A$ 上忠実平坦である。
2. $\varphi\colon A \to B$ が忠実平坦なら、$\varphi^{*}\colon \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ は全射である。

証明（系 6.3）

(1) $A$ の極大イデアルは $\mathfrak{m}$ だけで、$\mathfrak{m}B \subseteq \mathfrak{n} \ne B$ なので、定理 6.2 の (3) が成り立ちます。

(2) $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A$ とし、$S = A \setminus \mathfrak{p}$、$B_{\mathfrak{p}} = \varphi(S)^{-1}B$ とします。これは $A$ 加群として $S^{-1}B$ で、命題 2.3 の (6) により $A_{\mathfrak{p}} \otimes_A B \cong B_{\mathfrak{p}}$ です。$A_{\mathfrak{p}}$ 加群 $N$ について 命題 2.5 の (2) から $N \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} \cong N \otimes_A B$ なので、$B$ の忠実平坦性から $B_{\mathfrak{p}}$ は忠実平坦 $A_{\mathfrak{p}}$ 加群です。局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ の極大イデアルは $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$（命題 3.10［局所化と素イデアルのスペクトル］）なので、定理 6.2 の (3) により $\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}} \ne B_{\mathfrak{p}}$ です。

極大イデアルの存在（定理 6.5）［選択公理と Zorn の補題］ により $\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}} \subseteq \mathfrak{n}$ となる極大イデアル $\mathfrak{n}$ があります。定理 3.4［局所化と素イデアルのスペクトル］ による環準同型 $\psi\colon A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ について、$\psi^{-1}(\mathfrak{n})$ は素イデアルで（補題 2.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）極大イデアル $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ を含むので、それに等しいです。$j\colon B \to B_{\mathfrak{p}}$ を標準写像、$\mathfrak{q} = j^{-1}(\mathfrak{n})$ とすると、$j \circ \varphi = \psi \circ \iota$（$\iota\colon A \to A_{\mathfrak{p}}$）なので

$$\varphi^{-1}(\mathfrak{q}) = \iota^{-1}\psi^{-1}(\mathfrak{n}) = \iota^{-1}(\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}) = \mathfrak{p}$$

です。最後の等号は 定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3) です。

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平坦性だけでは $\operatorname{Spec}$ の全射性は出ません。$\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ は平坦ですが、$\operatorname{Spec}\mathbb{Q} = \{(0)\}$ の像は生成点だけです。実際 $\mathbb{Z}/p \otimes \mathbb{Q} = 0$ なので忠実平坦ではありません。

7. 絶対平坦環

定義 7.1（絶対平坦環）↗

すべての $A$ 加群が平坦であるような環 $A$ を絶対平坦という。任意の $x \in A$ に対し $x = x^2 y$ となる $y \in A$ がある環を von Neumann 正則環という。

命題 7.2（絶対平坦環の特徴づけ）✓

環 $A$ について次は同値である。

1. $A$ は絶対平坦である。
2. $A$ は von Neumann 正則環である。
3. $A$ の単項イデアルはすべて冪等元で生成される。
4. $A$ は被約で、素イデアルはすべて極大イデアルである。

証明（命題 7.2）

(1) ⇒ (2): $x \in A$ とします。$A/(x)$ は平坦なので、定理 4.3 により $(x) \otimes A/(x) \to A/(x)$ は単射です。この像は $(x) \cdot A/(x) = 0$ なので $(x) \otimes A/(x) = 0$ で、命題 2.3 の (1)(5) によりこれは $(x)/(x)(x) = (x)/(x^2)$ です。よって $x \in (x^2)$、すなわち $x = yx^2$ です。

(2) ⇒ (3): $x = x^2 y$ なら $e = xy$ は $e^2 = (x^2y)y = xy = e$ を満たし、$e \in (x)$、$x = x^2 y = ex \in (e)$ なので $(x) = (e)$ です。

(3) ⇒ (1): 冪等元 $e, f$ について $g = e + f - ef$ は冪等で $eg = e$、$fg = f$ なので $(e) + (f) = (g)$ です。帰納法で、有限生成イデアル $\mathfrak{a}$ は冪等元 $e$ による $(e)$ の形です。$r\colon A \to (e)$、$r(a) = ea$ は包含 $i\colon (e) \to A$ に対し $r \circ i = \mathrm{id}$（$x = ea$ なら $ex = e^2 a = x$）を満たすので、任意の $M$ について $(r \otimes 1)(i \otimes 1) = \mathrm{id}$ となり $i \otimes 1$ は単射です。定理 4.3 の (4) により $M$ は平坦です。

(2) ⇒ (4): $x^n = 0$ とします。$x = x^2y$ をくり返し代入すると $x = x^k y^{k-1}$（$k \ge 2$）が帰納法で得られ（$x^k y^{k-1} = x^{k-1}y^{k-1} \cdot x = x^{k-1}y^{k-1} \cdot x^2 y$）、$k = n$ で $x = 0$ です。素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$A/\mathfrak{p}$ の $0$ でない元 $\bar x$ は $\bar x(1 - \bar x \bar y) = 0$ を満たし、整域なので $\bar x\bar y = 1$ です。よって $A/\mathfrak{p}$ は体で、定理 6.3［イデアルと剰余環］ により $\mathfrak{p}$ は極大です。

(4) ⇒ (2): 極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $A_{\mathfrak{m}}$ が体であることを示します。$(a/s)^n = 0$ なら $ua^n = 0$（$u \notin \mathfrak{m}$）、$(ua)^n = 0$ で被約性から $ua = 0$、すなわち $a/s = 0$ なので $A_{\mathfrak{m}}$ は被約です。定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $A_{\mathfrak{m}}$ の素イデアルは $\mathfrak{m}$ に含まれる素イデアルに対応し、仮定からそれは $\mathfrak{m}$ だけです。定理 2.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $\mathfrak{m}A_{\mathfrak{m}} = \operatorname{nil}(A_{\mathfrak{m}}) = 0$ で、$A_{\mathfrak{m}}$ は極大イデアルが $0$ の局所環、すなわち体です。さて $x \in A$ について加群 $(x)/(x^2)$ を考えると、局所化の完全性から $((x)/(x^2))_{\mathfrak{m}} = xA_{\mathfrak{m}}/x^2A_{\mathfrak{m}}$ で、体 $A_{\mathfrak{m}}$ では $x/1$ が $0$ でも単元でもこれは $0$ です。定理 5.3［加群・完全列・中山の補題］ により $(x) = (x^2)$ です。

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体の有限個の直積や、すべての元が $x^2 = x$ を満たす Boolean 環は von Neumann 正則環です（Boolean 環では $y = 1$ と取れます）。$\mathbb{Z}/4$ は素イデアルが $(2)$ だけで極大ですが、被約でないので絶対平坦ではありません。

8. PID 上の平坦性と例

命題 8.1（PID 上の平坦加群）✓

$A$ を単項イデアル整域とする。

1. $A$ 加群 $M$ が平坦であることと、捩れがない（$a \ne 0$、$am = 0$ なら $m = 0$）ことは同値である。
2. 有限生成 $A$ 加群については、平坦・射影・自由の三条件は同値である。

証明（命題 8.1）

(1) PID（定義 7.1）［イデアルと剰余環］ のイデアルは $(a)$ の形です。$a = 0$ なら $(0) \otimes M = 0$ です。$a \ne 0$ なら、整域なので $A \to (a)$、$x \mapsto xa$ は同型で、$(a) \otimes M \cong A \otimes M \cong M$ のもとで $(a) \otimes M \to M$ は $a$ 倍写像になります。定理 4.3 の (3) により、平坦性はすべての $a \ne 0$ で $a$ 倍が単射であること、すなわち捩れがないことと同値です。

(2) 自由 ⇒ 射影 ⇒ 平坦は 補題 3.2 と 命題 4.4 の (1) です。平坦な有限生成加群 $M$ は (1) により捩れがありません。PID 上の構造定理（定理 5.1）［加群と PID 上の構造定理］ により $M \cong A^r \oplus A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s)$（$d_i$ は $0$ でも単元でもない）と書けますが、$s \ge 1$ なら $A/(d_s)$ の元 $\bar 1 \ne 0$ が $d_s$ で零化されて捩れになるので、$s = 0$、すなわち $M \cong A^r$ は自由です。

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例 8.2（Q は Z 上平坦だが射影的でない）

$\mathbb{Q} = S^{-1}\mathbb{Z}$（$S = \mathbb{Z} \setminus \{0\}$）は 命題 4.4 の (2) により平坦です（捩れがないことからも 命題 8.1 でわかります）。射影的でないことを示します。準同型 $\varphi\colon \mathbb{Q} \to \mathbb{Z}$ について、$\varphi(1) = n\,\varphi(1/n)$ がすべての $n \ge 1$ で成り立つので $\varphi(1)$ はすべての正整数で割り切れ、$\varphi(1) = 0$ です。すると $b\,\varphi(a/b) = \varphi(a) = a\varphi(1) = 0$ から $\varphi = 0$ です。$\mathbb{Q}$ が自由加群 $\mathbb{Z}^{(I)}$ の直和因子なら、$0$ でない元のある座標が $0$ でなく、その座標への射影が $0$ でない準同型 $\mathbb{Q} \to \mathbb{Z}$ を与えて矛盾します。定理 3.3 により $\mathbb{Q}$ は射影的ではありません。$\mathbb{Q}$ は有限表示でないので、定理 5.2 とは矛盾しません。

例 8.3（Z/n は Z 上平坦でない）

$n \ge 2$ とします。単射 $\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z}$ に $\otimes\,\mathbb{Z}/n$ を施すと、命題 2.3 の (4) により $\mathbb{Z}/n \xrightarrow{n} \mathbb{Z}/n$、すなわち零写像になり、単射ではありません。$\mathbb{Z}/n$ には捩れがあるので、命題 8.1 からも従います。

例 8.4（k[x,y] の極大イデアル (x,y) は平坦でない）

$k$ を体、$A = k[x, y]$、$\mathfrak{m} = (x, y)$ とします。$\mathfrak{m}$ が平坦なら、単射 $\mathfrak{m} \to A$ に $\otimes\,\mathfrak{m}$ を施した $\mathfrak{m} \otimes \mathfrak{m} \to A \otimes \mathfrak{m} \cong \mathfrak{m}$ は単射です。元 $z = x \otimes y - y \otimes x$ はこの写像で $xy - yx = 0$ に写ります。一方、$f \in \mathfrak{m}$ の $x$ の係数を $[f]_x$、$y$ の係数を $[f]_y$ と書くと、$\beta(f, g) = [f]_x [g]_y \in k = A/\mathfrak{m}$ は $A$ 双線形です（$a \in A$、$f \in \mathfrak{m}$ なら $[af]_x = a(0,0)[f]_x$ で、$A/\mathfrak{m}$ では $a$ は $a(0,0)$ として作用します）。$\beta(x, y) = 1$、$\beta(y, x) = 0$ なので、$\beta$ から得られる $\mathfrak{m} \otimes \mathfrak{m} \to k$ で $z \mapsto 1$ となり、$z \ne 0$ です。よって $\mathfrak{m}$ は平坦ではありません。$A$ は整域で $\mathfrak{m}$ には捩れがないので、PID でない環では「捩れがない」は平坦性に足りないことがわかります。

9. 演習

演習 9.1易

正の整数 $m, n$ について $\mathbb{Z}/m \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n \cong \mathbb{Z}/\gcd(m, n)$ を示し、$\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}/\mathbb{Z} = 0$ を確かめてください。

解答

命題 2.3 の (5) を $\mathfrak{a} = (m)$、$M = \mathbb{Z}/n$ に使うと $\mathbb{Z}/m \otimes \mathbb{Z}/n \cong (\mathbb{Z}/n)/m(\mathbb{Z}/n) = \mathbb{Z}/(m\mathbb{Z} + n\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/\gcd(m,n)$ です。後半: $q \otimes x$（$x = a/b + \mathbb{Z}$）について $q \otimes x = (q/b)b \otimes x = (q/b) \otimes bx = (q/b) \otimes 0 = 0$ です。純テンソルが生成するので全体が $0$ です。

演習 9.2標準

有限生成アーベル群 $G$ について、$G$ が平坦 $\mathbb{Z}$ 加群であることと $G \cong \mathbb{Z}^r$ であることが同値であることを、有限生成アーベル群の基本定理を使って示してください。また有限生成でない例で、平坦だが自由でない $\mathbb{Z}$ 加群を挙げてください。

解答

有限生成アーベル群の基本定理（系 6.1）［加群と PID 上の構造定理］ により $G \cong \mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}/d_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_s$（$d_i \ge 2$）です。命題 4.4 の (1) により $G$ が平坦なら直和因子 $\mathbb{Z}/d_i$ も平坦ですが、例 8.3 によりそれはありえないので $s = 0$ です。逆に $\mathbb{Z}^r$ は自由なので平坦です。有限生成でない例は $\mathbb{Q}$ です（例 8.2。射影的でないので自由でもありません）。

演習 9.3標準

(1) 環 $A$ について $A \to A[x]$ は忠実平坦であることを示してください。 (2) $f, g \in A$ が $(f, g) = A$ を満たすとき、$A \to A_f \times A_g$ は忠実平坦であることを示してください。

解答

(1) $A[x]$ は基底 $1, x, x^2, \ldots$ をもつ自由 $A$ 加群なので平坦です（命題 4.4 の (1)）。極大イデアル $\mathfrak{m}$ について、$\mathfrak{m}A[x]$ の元の定数項は $\mathfrak{m}$ に入るので $1 \notin \mathfrak{m}A[x]$ です。定理 6.2 の (3) により忠実平坦です。

(2) $A_f \times A_g = A_f \oplus A_g$ は 命題 4.4 の (1)(2) により平坦です。極大イデアル $\mathfrak{m}$ は $f$ と $g$ の両方を含むことはないので（含めば $1 \in \mathfrak{m}$）、たとえば $f \notin \mathfrak{m}$ です。すると $\mathfrak{m}$ は $\{f^n\}$ と交わらず、定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1) により $\mathfrak{m}A_f \ne A_f$ です。よって $\mathfrak{m}(A_f \oplus A_g) \ne A_f \oplus A_g$ で、忠実平坦です。これは $\operatorname{Spec} A = D(f) \cup D(g)$ という開被覆に対応し、代数幾何では「開被覆への制限で性質を確かめる」議論（降下法）の基礎になります。

参考文献

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 — Chapter 2（テンソル積・平坦性）、Chapter 3（局所化と平坦性）、Chapter 2 の演習（忠実平坦・絶対平坦）。
• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 — §7（平坦性・忠実平坦性・平坦性の判定）。
• T. Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer GTM 189, 1999 — §3（入射加群と Baer の判定法）、§4（平坦加群と指標加群）。
• J. J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009 — Chapter 3（射影・入射・平坦加群）。
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer GTM 150, 1995 — Chapter 6（平坦性）。