完備化と Artin–Rees の補題：逆極限・Krull の交叉定理・Hensel の補題・係数体

0. この記事の要点

整数の範囲では $x^2 = 2$ に解がありませんが、$7$ で割った余り、$49$ で割った余り、と精度を上げながら解を延ばしていくと、「$7$ 進整数」という広い数の世界の中に解が見つかります。この記事は、このように「各段階で矛盾しない余りの列」を一つの数とみなす操作（完備化）を調べます。読み終えると、完備化してももとの環の情報が失われない理由と、完備化した環でだけ使える根の持ち上げの方法がわかります。

• 加群の逆系 $(M_n)$ の逆極限（両立する列を束ねたもの）は左完全（完全列を左から保つ）な操作で、部分の逆系が Mittag-Leffler 条件（像の降鎖が止まる）を満たせば短完全列を短完全列に写します。$I$ 進完備化 $\widehat{M} = \varprojlim M/I^nM$ の性質はほぼすべてここから出ます。
• Artin–Rees の補題: Noether 環 $A$ 上の有限生成加群 $M$ とその部分加群 $N$ について、ある $c$ で $I^nM \cap N = I^{n-c}(I^cM \cap N)$（$n \ge c$）。証明は Rees 環 $\bigoplus_n I^n t^n$（$I^n$ を次数 $n$ の位置に並べた環。§4 の図）が Noether であることに尽きます。
• Krull の交叉定理: $\bigcap_n I^nM$ は「ある $a \in I$ で $(1-a)x = 0$」となる $x$ の全体です。局所環や整域では $\bigcap_n I^n = 0$ になります。Noether 性を外すと壊れます（滑らかな関数の芽）。
• Noether 環では、有限生成加群の上で完備化は完全で $\widehat{M} \cong \widehat{A} \otimes_A M$、$\widehat{A}$ は $A$ 上平坦（局所環なら忠実平坦）で Noether、局所環の完備化は $\widehat{A}/\mathfrak{m}^n\widehat{A} \cong A/\mathfrak{m}^n$ をもつ局所環です。
• Hensel の補題: 完備局所環上のモニック多項式は、剰余体上の互いに素な分解を持ち上げられます。とくに単根は持ち上がります（$\mathbb{Z}_7$ の中の $\sqrt{2}$）。
• 完備局所環が標数 $0$ の体を含めば係数体（剰余体と同型に写る部分体）をもち、$k[[x_1, \ldots, x_r]]$ の剰余環になります。一般の Cohen の構造定理（完備局所環の形を決める定理）は主張のみを述べ、理由を書きます。

この記事で使う事前知識

• 完全列: 各所で、手前の写像の像が次の写像の核に一致する列。→ 完全列
• 有限生成: 有限個の元を取れば、加群の元がすべてそれらの係数倍の和で書けるという性質。→ 有限生成
• 局所環と剰余体: 非単元全体が唯一の極大イデアルをなす環が局所環で、その極大イデアルで割ってできる体が剰余体。→ 局所環
• Noether 加群: 部分加群の昇鎖が必ず止まる加群。→ Noether 加群
• 忠実平坦: 平坦（テンソル積をとっても完全列が完全のまま）で、さらに零でない加群を零にしない性質。→ 忠実平坦

1. 動機

$\mathbb{Z}$ で方程式 $x^2 = 2$ を解こうとすると解はありません。しかし $7$ を法とすると $3^2 \equiv 2$、$49$ を法とすると $10^2 \equiv 2$、$343$ を法とすると $108^2 \equiv 2$ と、法を $7^n$ に上げながら解を矛盾なく延ばしていけます。この「両立する解の列」を一つの数とみなしたものが $7$ 進整数で、$7$ 進整数の環 $\mathbb{Z}_7$ の中では $x^2 = 2$ が解をもちます。代数的に言えば、$\mathbb{Z}_7$ は剰余環 $\mathbb{Z}/7^n$ の逆極限です。

幾何学では、局所環 $A_\mathfrak{m}$ が代数多様体の点の「Zariski 位相での近傍」を表すのに対し、完備化 $\widehat{A}$ は「形式的な近傍」、すなわち点のまわりの Taylor 展開の世界を表します。$k[x]_{(x)}$ の完備化は冪級数環 $k[[x]]$ です。Zariski 位相の開集合は大きすぎて、たとえば結節点 $y^2 = x^2(x+1)$ の原点のまわりで曲線が二本の枝に分かれる様子は局所環では見えませんが、標数が $2$ でない体上で完備化すると $y^2 - x^2(1+x) = (y - x\sqrt{1+x})(y + x\sqrt{1+x})$ と因数分解されて見えます（$\sqrt{1+x}$ は冪級数として存在します）。

完備化を使うには二つのことが要ります。一つは完備化してもとの情報が失われないこと（Krull の交叉定理による $A \hookrightarrow \widehat{A}$、平坦性）、もう一つは完備化した環でしかできない操作（Hensel の補題による根の持ち上げ、係数体）です。前者の要が Artin–Rees の補題、後者の要が逐次近似です。

この記事では §2 で逆極限、§3 で $I$ 進完備化、§4 で Artin–Rees の補題、§5 で Krull の交叉定理、§6 で Noether 環の完備化の性質、§7 で Hensel の補題、§8 で係数体と Cohen の構造定理を扱います。環はすべて単位元をもつ可換環で、$\mathbb{N} = \{1, 2, \ldots\}$ とします。加群・完全列・中山の補題は 加群・完全列・中山の補題、テンソル積と平坦性は テンソル積と平坦性、Noether 加群と冪級数環は Noether 環と Artin 環 の章のものを使います。

2. 逆極限と Mittag-Leffler 条件

定義 2.1（逆系と逆極限・Mittag-Leffler 条件）↗

$A$ 加群の列 $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ と準同型 $\theta_n\colon M_{n+1} \to M_n$ の組を逆系という。$m \ge n$ について合成 $\theta_n \circ \cdots \circ \theta_{m-1}$ を $\theta_{n,m}\colon M_m \to M_n$ と書く（$\theta_{n,n} = \mathrm{id}$）。

1. 部分加群 $\varprojlim M_n = \{ (x_n) \in \prod_n M_n : \text{すべての } n \text{ で } \theta_n(x_{n+1}) = x_n \}$ を逆極限という。
2. 逆系の射 $(f_n)\colon (M_n) \to (N_n)$ とは、準同型 $f_n\colon M_n \to N_n$ の列で各 $n$ について $f_n \circ \theta_n = \theta'_n \circ f_{n+1}$ となるものをいう。$(x_n) \mapsto (f_n(x_n))$ により準同型 $\varprojlim M_n \to \varprojlim N_n$ が定まる。逆系の射の列 $0 \to (M'_n) \to (M_n) \to (M''_n) \to 0$ が完全であるとは、各 $n$ で $0 \to M'_n \to M_n \to M''_n \to 0$ が完全であることをいう。
3. 逆系 $(M_n)$ が Mittag-Leffler 条件を満たすとは、各 $n$ について、像の降鎖 $\theta_{n,m}(M_m)$（$m \ge n$）がある $m(n) \ge n$ 以降一定になることをいう。とくに $\theta_n$ がすべて全射なら Mittag-Leffler 条件を満たす。

定理 2.2（逆極限の完全性）✓

$0 \to (A_n) \xrightarrow{(f_n)} (B_n) \xrightarrow{(g_n)} (C_n) \to 0$ を逆系の完全列とする。このとき

$$0 \to \varprojlim A_n \to \varprojlim B_n \to \varprojlim C_n$$

は完全である。さらに $(A_n)$ が Mittag-Leffler 条件を満たすなら、$\varprojlim B_n \to \varprojlim C_n$ は全射である。

証明の方針は次のとおりです。各 $n$ で「$c_n$ に写る $B_n$ の元」の集合を考え、それらを $n$ の小さい側から順に、両立するように選んでいきます。選んだ元が次の段でも延ばせるかが問題になりますが、Mittag-Leffler 条件により、十分先の段から落ちてくる像の集合が一定になるので、延ばせる候補が残ります。

証明（定理 2.2）

三つの逆系の推移写像を $\alpha_n$、$\beta_n$、$\gamma_n$ と書きます。

左完全性。 $f_n$ はすべて単射なので $\varprojlim A_n \to \varprojlim B_n$ も単射です。$(b_n) \in \varprojlim B_n$ が $C$ 側で $0$ に写るとすると、各 $n$ で $g_n(b_n) = 0$ なので $b_n = f_n(a_n)$ となる $a_n \in A_n$ がただ一つあります。$f_n(\alpha_n(a_{n+1})) = \beta_n(f_{n+1}(a_{n+1})) = \beta_n(b_{n+1}) = b_n = f_n(a_n)$ と $f_n$ の単射性から $\alpha_n(a_{n+1}) = a_n$ なので、$(a_n) \in \varprojlim A_n$ が $(b_n)$ に写ります。

全射性。 $(c_n) \in \varprojlim C_n$ を取り、$E_m = g_m^{-1}(c_m) \subseteq B_m$ とおきます。$g_m$ は全射なので $E_m$ は空でなく、$e \in E_m$ を一つ取ると $E_m = e + f_m(A_m)$ です。$\gamma_m(c_{m+1}) = c_m$ なので $\beta_m(E_{m+1}) \subseteq E_m$ で、したがって $m \ge n$ について $D_{n,m} = \beta_{n,m}(E_m) \subseteq B_n$ は $m$ について減少します。$D_{n,m} = \beta_{n,m}(e) + f_n(\alpha_{n,m}(A_m))$ は部分加群 $f_n(\alpha_{n,m}(A_m))$ の剰余類（の代表元の集合）であり、Mittag-Leffler 条件から $m \ge m(n)$ ではこの部分加群は一定です。同じ部分加群の剰余類が包含関係にあれば一致するので、$m \ge m(n)$ で $D_{n,m}$ は一定です。これを $E^*_n$ とおくと、$E^*_n$ は空でありません。

$\beta_n(E^*_{n+1}) = E^*_n$ を示します。$m$ を十分大きく取れば $\beta_n(E^*_{n+1}) = \beta_n \beta_{n+1,m}(E_m) = \beta_{n,m}(E_m) = E^*_n$ です（$m \ge m(n), m(n+1)$ で両方の安定化が起きています）。

そこで $x_1 \in E^*_1$ を選び、$x_n \in E^*_n$ が選ばれたら $\beta_n(x_{n+1}) = x_n$ となる $x_{n+1} \in E^*_{n+1}$ を選びます（各段で一つを選ぶので選択公理を使います）。$(x_n) \in \varprojlim B_n$ で、$x_n \in E_n$ なので $g_n(x_n) = c_n$ です。

∎

Mittag-Leffler 条件は外せません。$A_n = p^n\mathbb{Z}$（推移写像は包含）、$B_n = \mathbb{Z}$（恒等写像）、$C_n = \mathbb{Z}/p^n$ とすると、各段は完全ですが、$\varprojlim A_n = \bigcap_n p^n\mathbb{Z} = 0$、$\varprojlim B_n = \mathbb{Z}$ で、$\mathbb{Z} \to \varprojlim \mathbb{Z}/p^n$ は全射ではありません（§3 の 例 3.3 で見るとおり右辺は非可算集合です）。$(p^n\mathbb{Z})$ の像の降鎖 $p^m\mathbb{Z}$ は止まりません。

3. I 進フィルトレーションと完備化

以下、$A$ を環、$I$ をそのイデアル、$M$ を $A$ 加群とします。$I^0 = A$ と約束します。

定義 3.1（I フィルトレーション・安定性・I 進位相）↗

部分加群の降鎖 $M = M_0 \supseteq M_1 \supseteq M_2 \supseteq \cdots$ で、すべての $n \ge 0$ について $IM_n \subseteq M_{n+1}$ となるものを $M$ の $I$ フィルトレーションという。ある $n_0$ 以降 $IM_n = M_{n+1}$ となるとき安定であるという。$M_n = I^nM$ は安定な $I$ フィルトレーションで、$I$ 進フィルトレーションという。剰余類 $x + I^nM$（$x \in M$、$n \ge 0$）を開基とする $M$ の位相を $I$ 進位相という。

$I$ 進位相で $x_n \to x$ とは「任意の $k$ について、十分大きい $n$ で $x_n - x \in I^kM$」のことで、$I^kM$ に入る元ほど「小さい」とみなします。$\mathbb{Z}$ の $(p)$ 進位相では、$p^k$ で割り切れる数ほど $0$ に近い数です。この位相が Hausdorff であることと $\bigcap_n I^nM = 0$ は同値です。

定義 3.2（I 進完備化・完備局所環）↗

$M$ の $I$ 進完備化を $\widehat{M} = \varprojlim_n M/I^nM$（推移写像は自然な全射）と定め、第 $n$ 成分への射影を $p_n\colon \widehat{M} \to M/I^nM$、$x \mapsto (x + I^nM)_n$ で定まる準同型を $\iota_M\colon M \to \widehat{M}$ と書く。$\iota_M$ が全単射のとき、$M$ は $I$ 進完備であるという。

$\widehat{A} = \varprojlim A/I^n$ は成分ごとの積で環になり、$\iota_A$ は環準同型である。$\widehat{M}$ は成分ごとの作用で $\widehat{A}$ 加群になる。局所環 $(A, \mathfrak{m})$ が $\mathfrak{m}$ 進完備であるとき、$A$ を完備局所環という。

定義から $\ker \iota_M = \bigcap_n I^nM$ です。準同型 $u\colon M \to N$ は $I^nM$ を $I^nN$ に写すので、逆系の射 $M/I^nM \to N/I^nN$ を通して $\widehat{A}$ 線形写像 $\widehat{u}\colon \widehat{M} \to \widehat{N}$ を誘導し、$\widehat{u} \circ \iota_M = \iota_N \circ u$、$\widehat{v \circ u} = \widehat{v} \circ \widehat{u}$ が成り立ちます。有限直和については、$(M_1 \oplus M_2)/I^n(M_1 \oplus M_2) = M_1/I^nM_1 \oplus M_2/I^nM_2$ から $(M_1 \oplus M_2)^\wedge \cong \widehat{M_1} \oplus \widehat{M_2}$ です。

例 3.3（p 進整数）

$p$ を素数とします。$\mathbb{Z}$ の $(p)$ 進完備化 $\mathbb{Z}_p = \varprojlim \mathbb{Z}/p^n$ を $p$ 進整数環といいます。元は $x_n \equiv x_{n+1} \pmod{p^n}$ を満たす剰余類の列で、各 $x_n$ を $0 \le x_n < p^n$ で代表させると、$x_{n+1} = x_n + d_n p^n$（$0 \le d_n < p$）と書けます。こうして $\mathbb{Z}_p$ の元は $p$ 進展開 $d_0 + d_1 p + d_2 p^2 + \cdots$ と一対一に対応し、とくに $\mathbb{Z}_p$ は非可算です。

局所化 $\mathbb{Z}_{(p)}$ の $p\mathbb{Z}_{(p)}$ 進完備化も $\mathbb{Z}_p$ です。実際、$p$ と素な整数は $\mathbb{Z}/p^n$ で可逆なので、$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_{(p)}$ は同型 $\mathbb{Z}/p^n \cong \mathbb{Z}_{(p)}/p^n\mathbb{Z}_{(p)}$ を誘導し、これは $n$ について両立します。

例 3.4（多項式環の原点での完備化）

体 $k$ と $A = k[x_1, \ldots, x_r]$、$I = (x_1, \ldots, x_r)$ を考えます。$A/I^n$ は次数 $n$ 未満の多項式全体と同一視でき、逆系の元は「次数 $n$ 未満の部分が両立する多項式の列」なので、$\widehat{A} = k[[x_1, \ldots, x_r]]$ です。局所化 $k[x_1, \ldots, x_r]_{I}$ の $IA_I$ 進完備化も同じ $k[[x_1, \ldots, x_r]]$ です（$I$ の外の多項式は定数項が $0$ でないので、$A/I^n$ ですでに可逆です）。たとえば $1 + x$ は $k[x]_{(x)}$ で単元で、$k[[x]]$ の中で逆元 $1 - x + x^2 - \cdots$ をもちます。

二つのフィルトレーションが互いに「有界なずれ」しかもたなければ、完備化は同じです。Artin–Rees の補題はこの形で使います。

補題 3.5（ずれが有界なフィルトレーションの逆極限）✓

$(M_n)_{n \ge 1}$、$(M'_n)_{n \ge 1}$ を $M$ の部分加群の降鎖とし、すべての $n$ について $M'_n \subseteq M_n$ で、ある $c \ge 0$ についてすべての $n$ で $M_{n+c} \subseteq M'_n$ であるとする。このとき自然な全射 $M/M'_n \to M/M_n$ が誘導する $\rho\colon \varprojlim M/M'_n \to \varprojlim M/M_n$ は同型である。

証明（補題 3.5）

$(x_n) \in \varprojlim M/M_n$ に対し、$M_{n+c} \subseteq M'_n$ なので $x_{n+c}$ の $M/M'_n$ での像 $y_n$ が定まります。$y_{n+1}$ は $x_{n+c+1}$ の像で、$M/M'_n$ に落とすと $x_{n+c}$ の像 $y_n$ に一致するので、$\sigma((x_n)) = (y_n)$ は $\varprojlim M/M'_n$ の元です。$\rho\sigma((x_n))$ の第 $n$ 成分は $x_{n+c}$ の $M/M_n$ での像、すなわち $x_n$ です。$\sigma\rho((y_n))$ の第 $n$ 成分は $y_{n+c}$ の $M/M'_n$ での像、すなわち $y_n$ です。よって $\rho$ と $\sigma$ は互いに逆です。

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安定な $I$ フィルトレーション $(M_n)$ について、$IM_n = M_{n+1}$（$n \ge n_0$）なら $I^nM \subseteq M_n$ と $M_{n+n_0} = I^nM_{n_0} \subseteq I^nM$ が成り立つので、この補題から $\varprojlim M/M_n \cong \widehat{M}$ です。

4. Rees 環と Artin–Rees の補題

定義 4.1（Rees 環と随伴次数環）↗

多項式環 $A[t]$ の部分環 $A^* = \bigoplus_{n \ge 0} I^n t^n$ を $I$ の Rees 環という。$M$ の $I$ フィルトレーション $(M_n)$ について、$M^* = \bigoplus_{n \ge 0} M_n t^n$（形式的な直和）は $(at^i)(xt^j) = (ax)t^{i+j}$ により $A^*$ 加群になる。また $\operatorname{gr}_I(A) = \bigoplus_{n \ge 0} I^n/I^{n+1}$ に、$(a + I^{i+1})(b + I^{j+1}) = ab + I^{i+j+1}$（$a \in I^i$、$b \in I^j$）で定まる積を入れた次数環を、$I$ に関する随伴次数環という。

$a \in I^i$、$x \in M_j$ なら $ax \in I^iM_j \subseteq M_{i+j}$ なので $M^*$ の作用は well-defined です。$\operatorname{gr}_I(A)$ の積も、$a$ を $I^{i+1}$ の元だけずらすと $ab$ は $I^{i+j+1}$ の元だけずれるので well-defined です。$k[x]_{(x)}$ や $k[[x]]$ の極大イデアルに関する随伴次数環は多項式環 $k[t]$ で、$\operatorname{gr}$ は 次数環と Hilbert–Samuel 多項式 の章の Hilbert–Samuel 関数と Cohen–Macaulay 環と正則局所環 の章の正則局所環の判定（定理 6.2［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）で主役になります。

Rees 環 A* = ⊕ Iⁿtⁿ。次数 n の位置に Iⁿ を並べる（t は次数を記録する文字）。

次の補題のねらいは、「ある段から先は $I$ をかけるだけで次の段になる」という安定性を、「Rees 環上の加群として有限個の元で生成される」という有限性の言葉に言い換えることです。これで Rees 環の Noether 性を使えるようになり、Artin–Rees の補題の証明の橋渡しになります。

補題 4.2（安定性と Rees 加群の有限生成性）✓

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$(M_n)$ を $M$ の $I$ フィルトレーションとする。$(M_n)$ が安定であることと、$M^*$ が有限生成 $A^*$ 加群であることは同値である。

証明（補題 4.2）

定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3) により $M$ は Noether 加群で、補題 2.3［Noether 環と Artin 環］ の (2) により各 $M_n$ は有限生成です。$k \ge 0$ について

$$M^*_k = M_0 \oplus M_1 t \oplus \cdots \oplus M_k t^k \oplus (IM_k)t^{k+1} \oplus (I^2M_k)t^{k+2} \oplus \cdots$$

とおくと、これは $M^*$ の $A^*$ 部分加群で、$M_0, \ldots, M_k$ の生成元（を $t$ のしかるべき冪に置いたもの）で生成されるので有限生成です。$M^*_0 \subseteq M^*_1 \subseteq \cdots$ で、その和集合は $M^*$ です（$M_j t^j \subseteq M^*_j$）。

$M^*$ が有限生成なら、有限個の生成元の斉次成分はある $M^*_k$ に入るので $M^* = M^*_k$、すなわち $j \ge 1$ で $M_{k+j} = I^jM_k$ となり、$IM_n = M_{n+1}$（$n \ge k$）です。逆に $n \ge n_0$ で $IM_n = M_{n+1}$ なら、$M_{n_0 + j} = I^jM_{n_0}$ なので $M^* = M^*_{n_0}$ は有限生成です。

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次の定理は、$M$ の部分加群 $N$ の中で、$I$ の冪が作る列 $I^nM \cap N$ が、$N$ 自身に $I$ をかけていく列と有界なずれしかもたないことを保証します。たとえば $A = M = k[x]$、$I = (x)$、$N = (x^2)$ では $I^3 \cap N = (x^3)$ で、$I(I^2 \cap N) = (x)(x^2) = (x^3)$ と一致します。この性質が、§6 で $M$ と $N$ の完備化を比べるときに効きます。

定理 4.3（Artin–Rees の補題）✓

$A$ を Noether 環、$I$ をイデアル、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$N$ を $M$ の部分加群とする。このとき、ある整数 $c \ge 0$ が存在して、すべての $n \ge c$ について

$$I^nM \cap N = I^{n-c}\,(I^cM \cap N)$$

が成り立つ。すなわち $N$ の $I$ フィルトレーション $(I^nM \cap N)_n$ は安定である。

証明（定理 4.3）

$I = (a_1, \ldots, a_r)$ とします（$A$ は Noether なので $I$ は有限生成です）。$I^n$ は $a_1, \ldots, a_r$ の $n$ 次の単項式で生成されるので、$A^* = A[a_1t, \ldots, a_rt]$ は有限生成 $A$ 代数で、系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)（その中で 定理 5.3［多項式環と体の拡大］ を使っています）により Noether 環です。

$M$ の $I$ 進フィルトレーションは安定なので、補題 4.2 により $M^* = \bigoplus I^nM\,t^n$ は有限生成 $A^*$ 加群で、定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3) により Noether $A^*$ 加群です。$N_n = I^nM \cap N$ は $IN_n \subseteq I^{n+1}M \cap N = N_{n+1}$ を満たすので $N$ の $I$ フィルトレーションであり、$N^* = \bigoplus N_n t^n$ は $M^*$ の $A^*$ 部分加群、したがって有限生成です（補題 2.3［Noether 環と Artin 環］ の (2)）。ここで $N$ は Noether 加群 $M$ の部分加群なので有限生成で、補題 4.2 を $N$ に使えて $(N_n)$ は安定です。ある $c$ 以降 $IN_n = N_{n+1}$ なので、$n \ge c$ で $N_n = I^{n-c}N_c$ です。

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$I^nM \cap N \supseteq I^nN$ は自明ですが、逆向きに「$N$ の元で $I^nM$ に深く入るものは、$N$ の中でも深く入っている」ことを、有界なずれ $c$ で保証するのがこの補題です。$c$ を $0$ にはできません（演習 9.2）。

5. Krull の交叉定理

定理 5.1（Krull の交叉定理）✓

$A$ を Noether 環、$I$ をイデアル、$M$ を有限生成 $A$ 加群とし、$N = \bigcap_{n \ge 1} I^nM$ とおく。このとき $IN = N$ であり、

$$N = \{\, x \in M : \text{ある } a \in I \text{ について } (1 - a)x = 0 \,\}$$

である。

証明（定理 5.1）

定理 4.3 を部分加群 $N$ に使い、$c$ をその定数とします。$N \subseteq I^{c+1}M$ なので、$n = c + 1$ として

$$N = I^{c+1}M \cap N = I\,(I^cM \cap N) \subseteq IN$$

です。$IN \subseteq N$ は明らかなので $IN = N$ です。$N$ は Noether 加群 $M$ の部分加群なので有限生成で（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］、補題 2.3［Noether 環と Artin 環］）、系 3.4［加群・完全列・中山の補題］ により $x \equiv 1 \pmod I$ で $xN = 0$ となる $x$ があります。$x = 1 - a$（$a \in I$）と書けば、$N$ の元はすべて右辺の集合に入ります。

逆に $(1 - a)x = 0$（$a \in I$）なら $x = ax = a^2x = \cdots = a^nx \in I^nM$ がすべての $n$ で成り立つので、$x \in N$ です。

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系 5.2（局所環と整域での交叉定理）✓

$A$ を Noether 環、$I$ をイデアル、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。

1. $I \subseteq \operatorname{Jac}(A)$ なら $\bigcap_n I^nM = 0$ であり、$\iota_M\colon M \to \widehat{M}$ は単射である。とくに Noether 局所環 $(A, \mathfrak{m})$ では $\bigcap_n \mathfrak{m}^nM = 0$ で、$A \to \widehat{A}$ は単射である。
2. $A$ が整域で $I \ne A$ なら $\bigcap_n I^n = 0$ である。

証明（系 5.2）

(1) $(1 - a)x = 0$（$a \in I \subseteq \operatorname{Jac}(A)$）とします。命題 2.8［局所化と素イデアルのスペクトル］ を $y = 1$ で使うと $1 - a$ は単元なので $x = 0$ です。定理 5.1 により $\bigcap_n I^nM = 0$ で、これは $\ker\iota_M$ です（§3）。局所環では $\operatorname{Jac}(A) = \mathfrak{m}$ です（定義 2.2［局所化と素イデアルのスペクトル］）。

(2) $M = A$ として 定理 5.1 を使います。$(1 - a)x = 0$、$a \in I$ とすると、$I \ne A$ なので $a \ne 1$（補題 3.3［イデアルと剰余環］）、すなわち $1 - a \ne 0$ で、整域なので $x = 0$ です。

∎

$I \subseteq \operatorname{Jac}(A)$ の仮定は外せません。$A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$、$I = \mathbb{Z} \times 0$ では $I^2 = I$ なので $\bigcap_n I^n = I \ne 0$ です。定理の $a$ は $(1, 0)$ で、$1 - a = (0, 1)$ が $I$ を零化しています。

例 5.3（滑らかな関数の芽：Noether でない局所環）

$A$ を、$\mathbb{R}$ の原点の近傍で定義された $C^\infty$ 級関数の芽（原点のある近傍で一致する関数を同一視したもの）の環とします。$f(0) \ne 0$ なら $1/f$ が原点の近くで $C^\infty$ 級なので、非単元全体は $\mathfrak{m} = \{ f : f(0) = 0 \}$ で、$A$ は局所環です（補題 3.9［局所化と素イデアルのスペクトル］）。

$f \in \mathfrak{m}$ なら微積分学の基本定理から $f(x) = x\,g(x)$、$g(x) = \int_0^1 f'(sx)\,ds$ で、$g$ も $C^\infty$ 級なので $\mathfrak{m} = (x)$、$\mathfrak{m}^n = (x^n)$ です。$f \in (x^n)$ なら Leibniz の公式から $f^{(j)}(0) = 0$（$j < n$）です。逆にすべての導関数が $0$ で消える $f$ は、$g^{(j)}(0) = \int_0^1 s^j f^{(j+1)}(0)\,ds = 0$ なので $g$ も同じ性質をもち、繰り返して $f \in (x^n)$ がすべての $n$ でわかります。したがって $\bigcap_n \mathfrak{m}^n$ は原点ですべての導関数が消える芽の全体です。

$f(x) = e^{-1/x^2}$（$f(0) = 0$）はすべての導関数が原点で $0$ になる（平均値の定理とテイラー展開 の最後の例）ので、$\bigcap_n \mathfrak{m}^n \ne 0$ です。$\mathfrak{m}$ は単項イデアルなのに交叉定理が成り立たないのは、$A$ が Noether でないからです。実際 $N = \bigcap_n \mathfrak{m}^n$ について、上の議論から $f \in N$ なら $g \in N$ なので $N = \mathfrak{m}N$ で、$N$ が有限生成なら中山の補題で $N = 0$ となるはずですから、$N$ は有限生成ではありません。完備化は $\widehat{A} = \mathbb{R}[[x]]$ で、$A \to \widehat{A}$ は芽をその Taylor 級数に送る写像です。

6. Noether 環の完備化

この節では $A$ を Noether 環、$I$ をそのイデアルとし、完備化はすべて $I$ 進のものとします。

定理 6.1（完備化の完全性）✓

$0 \to M' \xrightarrow{u} M \xrightarrow{v} M'' \to 0$ を有限生成 $A$ 加群の短完全列とする。このとき $0 \to \widehat{M'} \xrightarrow{\widehat{u}} \widehat{M} \xrightarrow{\widehat{v}} \widehat{M''} \to 0$ は完全である。

証明（定理 6.1）

$u$ で $M'$ を $M$ の部分加群とみなし、$M'' = M/M'$ とします。$v(I^nM) = I^nM''$ なので、各 $n$ について

$$0 \to M'/(M' \cap I^nM) \to M/I^nM \to M''/I^nM'' \to 0$$

は完全です（中央から右への写像は全射で、核は $(M' + I^nM)/I^nM \cong M'/(M' \cap I^nM)$。補題 2.1［Noether 環と Artin 環］ の (1)）。これは逆系の完全列で、左の逆系の推移写像は全射なので Mittag-Leffler 条件を満たします。定理 2.2 により

$$0 \to \varprojlim M'/(M' \cap I^nM) \to \widehat{M} \xrightarrow{\widehat{v}} \widehat{M''} \to 0$$

は完全です。定理 4.3 の定数 $c$ について $I^nM' \subseteq M' \cap I^nM$、$M' \cap I^{n+c}M = I^n(M' \cap I^cM) \subseteq I^nM'$ なので、補題 3.5 により自然な写像 $\widehat{M'} \to \varprojlim M'/(M' \cap I^nM)$ は同型です。これと上の単射の合成は、各成分 $M'/I^nM' \to M/I^nM$ から誘導される写像、すなわち $\widehat{u}$ なので、主張の列は完全です。

∎

次の定理は、完備化を取ることが $\widehat{A}$ とのテンソル積を取ることと同じだと言っています。証明の流れは、まず $M = A^r$ のときに確かめ、一般の $M$ は $A^s \to A^r \to M \to 0$ という完全列（有限表示）を取って、完備化した列とテンソル積を取った列を比べる、というものです。

定理 6.2（完備化とテンソル積）✓

有限生成 $A$ 加群 $M$ について、$\xi \otimes x \mapsto \xi\,\iota_M(x)$ で定まる $\widehat{A}$ 線形写像 $\psi_M\colon \widehat{A} \otimes_A M \to \widehat{M}$ は同型である。$\psi$ は $M$ について自然である。すなわち準同型 $u\colon M \to N$ について $\psi_N \circ (1 \otimes u) = \widehat{u} \circ \psi_M$ が成り立つ。

証明（定理 6.2）

$(\xi, x) \mapsto \xi\,\iota_M(x)$ は双線形なので $\psi_M$ が定まります（定理 2.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。自然性は、$\widehat{u}$ が $\widehat{A}$ 線形で $\widehat{u}\,\iota_M = \iota_N u$ であることから、純テンソル上で $\widehat{u}(\xi\,\iota_M(x)) = \xi\,\iota_N(u(x))$ と確かめられます。

$M = A^r$ のとき、命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (3)(4) により $\widehat{A} \otimes A^r \cong \widehat{A}^r$、§3 の直和の注意により $\widehat{A^r} \cong \widehat{A}^r$ で、この同一視で $\psi$ は恒等写像（$\xi \otimes e_i \mapsto \xi\,\iota(e_i)$）なので同型です。

一般の $M$ について、$A$ は Noether なので $M$ は有限表示です。全射 $v\colon A^r \to M$ の核 $K$ は Noether 加群 $A^r$ の部分加群なので有限生成で（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］、補題 2.3［Noether 環と Artin 環］）、全射 $w\colon A^s \to K$ があります。$u\colon A^s \to A^r$ を $w$ と包含の合成とします。定理 6.1 を $0 \to K \to A^r \to M \to 0$ と $0 \to \ker w \to A^s \to K \to 0$ に使うと、$\widehat{A^s} \to \widehat{K}$ は全射で $\widehat{K} \to \widehat{A^r}$ の像は $\ker\widehat{v}$ なので、$\widehat{A^s} \xrightarrow{\widehat{u}} \widehat{A^r} \xrightarrow{\widehat{v}} \widehat{M} \to 0$ は完全です。一方、定理 2.8［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により $\widehat{A} \otimes A^s \to \widehat{A} \otimes A^r \to \widehat{A} \otimes M \to 0$ も完全です。自然性により $\psi$ はこの二つの列の間の可換図式を与え、最初の二つの $\psi$ は同型です。

$\psi_M$ が全射であることは、$\widehat{A^r} \to \widehat{M}$ が全射で $\psi_{A^r}$ が全射であることから従います。$\psi_M(z) = 0$ とし、$z$ を $y \in \widehat{A} \otimes A^r$ の像とすると、$\psi_{A^r}(y)$ は $\widehat{M}$ で $0$ に写るので $\widehat{u}(w')$（$w' \in \widehat{A^s}$）と書け、$w' = \psi_{A^s}(y')$ とすると $\psi_{A^r}(y - (1 \otimes u)(y')) = 0$ です。$\psi_{A^r}$ は単射なので $y$ は $(1 \otimes u)(y')$ に等しく、$v \circ u = 0$ なのでその像 $z = (1 \otimes v)(1 \otimes u)(y')$ は $0$ です。

∎

命題 6.3（完備化のイデアルと剰余）✓

$n \ge 1$ とする。

1. $\ker\bigl(p_n\colon \widehat{A} \to A/I^n\bigr) = I^n\widehat{A}$ であり、$p_n$ は同型 $\widehat{A}/I^n\widehat{A} \cong A/I^n$ を誘導する。
2. $I^n\widehat{A}/I^{n+1}\widehat{A} \cong I^n/I^{n+1}$ であり、$\operatorname{gr}_{I\widehat{A}}(\widehat{A}) \cong \operatorname{gr}_I(A)$ は次数環の同型である。
3. $\widehat{A}$ は $I\widehat{A}$ 進完備である。
4. $I\widehat{A} \subseteq \operatorname{Jac}(\widehat{A})$ である。

証明（命題 6.3）

(1) 定理 6.1 を $0 \to I^n \to A \to A/I^n \to 0$ に使います。$A/I^n$ の $I$ 進フィルトレーションは $k \ge n$ で $0$ なので、その逆系は $k \ge n$ で $A/I^n$ と恒等写像からなり、射影 $(A/I^n)^\wedge \to A/I^n$（第 $n$ 成分）は同型です。この同一視で、$A \to A/I^n$ の完備化は $p_n$ になります。よって $\ker p_n$ は $\widehat{I^n} \to \widehat{A}$ の像です。定理 6.2 の自然性により、これは $\widehat{A} \otimes I^n \to \widehat{A} \otimes A = \widehat{A}$ の像、すなわち $I^n\widehat{A}$ です。$p_n$ は全射（$p_n \circ \iota_A$ が全射）なので、準同型定理（定理 5.1［イデアルと剰余環］）から後半を得ます。

(2) (1) の同型は $n$ について両立するので、$I^n\widehat{A}/I^{n+1}\widehat{A} = \ker(\widehat{A}/I^{n+1}\widehat{A} \to \widehat{A}/I^n\widehat{A})$ は $\ker(A/I^{n+1} \to A/I^n) = I^n/I^{n+1}$ に写ります。どちらも $\iota_A$ から誘導されるので、積と両立します。

(3) (1) の同型で逆系 $(\widehat{A}/I^n\widehat{A})$ を $(A/I^n)$ と同一視すると、$\widehat{A} \to \varprojlim \widehat{A}/I^n\widehat{A} \cong \varprojlim A/I^n = \widehat{A}$ は $\xi \mapsto (p_n(\xi))_n = \xi$、すなわち恒等写像です。

(4) $z \in I\widehat{A}$ について $1 - z$ が単元であることを示せば、命題 2.8［局所化と素イデアルのスペクトル］ から従います（$zy \in I\widehat{A}$ なので）。(1) より $z^k \in I^k\widehat{A} = \ker p_k$ です。$s_N = \sum_{k < N} z^k$ とおくと、$N \ge n$ で $p_n(s_N) = p_n(s_n)$ なので、$p_n(w) = p_n(s_n)$ となる $w \in \widehat{A}$ が定まります。$p_n((1 - z)w) = p_n((1 - z)s_n) = p_n(1 - z^n) = 1$ がすべての $n$ で成り立つので $(1 - z)w = 1$ です。

∎

完備な環の上では「冪級数に元を代入する」ことができます。その準備として、多変数の冪級数環を多重指数で書き直します。次の補題は当たり前に見えますが、後の代入の補題で係数ごとの計算をするために、多変数でも和と積が期待どおりの係数の公式で書けることを一度確認しておくためのものです。環 $R$ 上の $r$ 変数冪級数環を、定義 4.2［Noether 環と Artin 環］ の構成を繰り返して $R[[x_1, \ldots, x_r]] = R[[x_1, \ldots, x_{r-1}]][[x_r]]$（$r = 1$ では $R[[x_1]]$）と定めます。多重指数 $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_r) \in \mathbb{Z}_{\ge 0}^r$ について $|\alpha| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_r$ と書きます。

補題 6.4（多変数冪級数環の多重指数表示）✓

環 $R$ と $r \ge 1$ について、$R[[x_1, \ldots, x_r]]$ の元 $f$ に $R$ の元の族 $(c_\alpha)_{\alpha \in \mathbb{Z}_{\ge 0}^r}$（$f$ の係数）を対応させる全単射で、次を満たすものがある。$f, g$ の係数を $(c_\alpha)$、$(d_\alpha)$ とすると、$f + g$ の係数は $(c_\alpha + d_\alpha)$、$fg$ の係数は $\bigl(\sum_{\beta + \beta' = \alpha} c_\beta d_{\beta'}\bigr)_\alpha$（有限和）である。$1$ の係数は $\alpha = 0$ で $1$、他で $0$ であり、$x_i$ の係数は $\alpha = e_i$（第 $i$ 成分だけが $1$ の多重指数）で $1$、他で $0$ である。

証明（補題 6.4）

$r$ についての帰納法です。$r = 1$ では、$R[[x_1]]$ の元は係数の列そのもので、和と積は 定義 4.2［Noether 環と Artin 環］ により係数ごとの和と $(fg)_m = \sum_{j + l = m} f_j g_l$ で与えられるので、主張はそのまま定義です。

$r \ge 2$ とし、$S = R[[x_1, \ldots, x_{r-1}]]$ で主張が成り立つとします。$S[[x_r]]$ の元 $f$ は $S$ の元の列 $(F_m)_{m \ge 0}$ で、各 $F_m$ には帰納法の仮定により係数 $(c^{(m)}_\beta)_{\beta \in \mathbb{Z}_{\ge 0}^{r-1}}$ が対応します。多重指数 $(\beta, m) \in \mathbb{Z}_{\ge 0}^r$ について $c_{(\beta, m)} = c^{(m)}_\beta$ とおくと、$f \mapsto (c_\alpha)_\alpha$ は全単射の合成なので全単射です。和については明らかです。積については、$fg$ の第 $m$ 項は $\sum_{j + l = m} F_j G_l$ で、その $\beta$ の係数は帰納法の仮定（$S$ の中での和と積の係数）により

$$\sum_{j + l = m} \ \sum_{\gamma + \gamma' = \beta} c_{(\gamma, j)}\, d_{(\gamma', l)} = \sum_{(\gamma, j) + (\gamma', l) = (\beta, m)} c_{(\gamma, j)}\, d_{(\gamma', l)}$$

です。$1$ は列 $(1, 0, 0, \ldots)$、$x_i$（$i < r$）は列 $(x_i, 0, 0, \ldots)$、$x_r$ は列 $(0, 1, 0, \ldots)$ なので、残りの主張も帰納法の仮定から従います。

∎

この補題により、多重指数 $\alpha$ についての $x^\alpha = x_1^{\alpha_1} \cdots x_r^{\alpha_r}$ は $\alpha$ でだけ係数 $1$ をもつ元であり（積の公式で $x_i$ の係数を畳み込めばわかります）、係数が $(c_\alpha)$ の元を形式和 $f = \sum_\alpha c_\alpha x^\alpha$ と書きます。係数が有限個を除いて $0$ の元は有限和 $\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha$ そのもので、これらは $R$ と $x_1, \ldots, x_r$ が生成する部分環をなし、単項式 $x^\alpha$ の一次独立性（係数の一意性）により多項式環 $R[x_1, \ldots, x_r]$ と同一視されます。$f_d = \sum_{|\alpha| = d} c_\alpha x^\alpha$（$d \ge 0$）を $f$ の $d$ 次斉次部分といいます。$|\beta + \beta'| = |\beta| + |\beta'|$ なので、積の公式から $(fg)_d = \sum_{i + j = d} f_i g_j$ です。次の補題は §6 と §8 の両方で使います。

補題 6.5（完備な環への冪級数の代入）✓

$B$ を環、$J$ をそのイデアルとし、$B$ は $J$ 進完備であるとする。環準同型 $\sigma\colon R \to B$ と $b_1, \ldots, b_r \in J$ に対し、環準同型 $\varphi\colon R[[x_1, \ldots, x_r]] \to B$ で、$\varphi|_R = \sigma$、$\varphi(x_i) = b_i$、およびすべての $n \ge 1$ について

$$\varphi(f) \equiv \sum_{d < n} \sigma(f_d)(b) \pmod{J^n}$$

を満たすものが存在する。ここで $\sigma(f_d)(b) = \sum_{|\alpha| = d} \sigma(c_\alpha) b^\alpha$ である。さらに $J = (b_1, \ldots, b_r)$ かつ $B = \sigma(R) + J$ なら、$\varphi$ は全射である。

証明（補題 6.5）

$\sigma(f_d)(b) \in J^d$ なので、$\bigl(\sum_{d < n} \sigma(f_d)(b) + J^n\bigr)_n$ は $\varprojlim B/J^n$ の元で、$\iota_B$ が全単射なのでこれに写る $B$ の元がただ一つあります。それを $\varphi(f)$ とします。和を保つことは明らかです。積については、補題 6.4 の積の公式から $(fg)_d = \sum_{i + j = d} f_i g_j$ で、$\sigma$ を係数に施して $b$ を代入する写像 $R[x_1, \ldots, x_r] \to B$ は環準同型（補題 3.1［加群・完全列・中山の補題］ を $r$ 回使います）なので

$$\sum_{d < n} \sigma((fg)_d)(b) - \Bigl(\sum_{i < n} \sigma(f_i)(b)\Bigr)\Bigl(\sum_{j < n} \sigma(g_j)(b)\Bigr) = -\sum_{i, j < n,\ i + j \ge n} \sigma(f_i)(b)\,\sigma(g_j)(b) \in J^n$$

で、$\varphi(fg) - \varphi(f)\varphi(g)$ はすべての $J^n$ に入り、$\iota_B$ の単射性（$\bigcap_n J^n = 0$）から $0$ です。$\varphi(1) = 1$、$\varphi|_R = \sigma$、$\varphi(x_i) = b_i$ も定義から従います。

全射性: $J^d$ は $b$ の $d$ 次単項式で生成されるので、$B = \sigma(R) + J$ から $J^d = \sum_{|\alpha| = d} b^\alpha B \subseteq \sum_{|\alpha| = d} b^\alpha \sigma(R) + J^{d+1}$ です。$\eta \in B$ を取り、$y_0 = \eta$ とし、$y_d \in J^d$ が得られたら $y_d = \sigma(F_d)(b) + y_{d+1}$（$F_d$ は $R$ 係数の $d$ 次斉次多項式、$y_{d+1} \in J^{d+1}$）と書きます。$d$ 次斉次部分が $F_d$ である冪級数を $f = \sum_d F_d$ とすると（補題 6.4 の全単射により存在します）$\eta - \sum_{d < n} \sigma(F_d)(b) = y_n \in J^n$ なので、$\varphi(f) - \eta$ はすべての $J^n$ に入り、$\varphi(f) = \eta$ です。

∎

定理 6.6（完備化の Noether 性と局所性）✓

$A$ を Noether 環、$I$ をイデアルとする。

1. $\widehat{A}$ は Noether 環である。
2. $(A, \mathfrak{m}, k)$ が局所環で $I = \mathfrak{m}$ なら、$\widehat{A}$ は極大イデアル $\mathfrak{m}\widehat{A}$ と剰余体 $k$ をもつ局所環で、$\widehat{A}/\mathfrak{m}^n\widehat{A} \cong A/\mathfrak{m}^n$ であり、$\widehat{A}$ は完備局所環である。

証明（定理 6.6）

(1) $I = (a_1, \ldots, a_r)$ とします。補題 6.5 を $B = \widehat{A}$、$J = I\widehat{A}$、$\sigma = \iota_A$、$b_i = \iota_A(a_i)$ に使います。$\widehat{A}$ は $I\widehat{A}$ 進完備で（命題 6.3 の (3)）、$J$ は $b_i$ で生成されます。さらに $p_1 \circ \iota_A\colon A \to A/I$ は全射で $\ker p_1 = I\widehat{A}$（命題 6.3 の (1)）なので、$\widehat{A} = \iota_A(A) + I\widehat{A}$ です。よって全射 $A[[x_1, \ldots, x_r]] \to \widehat{A}$ があります。定理 4.3［Noether 環と Artin 環］ を $r$ 回使うと $A[[x_1, \ldots, x_r]]$ は Noether で、その剰余環に同型な（定理 5.1［イデアルと剰余環］）$\widehat{A}$ も Noether です（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (1)）。

(2) 命題 6.3 の (1) より $\widehat{A}/\mathfrak{m}^n\widehat{A} \cong A/\mathfrak{m}^n$ で、$n = 1$ から $\widehat{A}/\mathfrak{m}\widehat{A} \cong k$ は体なので $\mathfrak{m}\widehat{A}$ は極大イデアルです（定理 6.3［イデアルと剰余環］）。$\widehat{A}$ の任意の極大イデアル $\mathfrak{n}$ は $\operatorname{Jac}(\widehat{A}) \supseteq \mathfrak{m}\widehat{A}$（命題 6.3 の (4)）を含むので、極大性から $\mathfrak{n} = \mathfrak{m}\widehat{A}$ です。$(\mathfrak{m}\widehat{A})^n = \mathfrak{m}^n\widehat{A}$ なので、命題 6.3 の (3) は $\widehat{A}$ が完備局所環であることを言っています。

∎

定理 6.7（完備化の平坦性）✓

$A$ を Noether 環、$I$ をイデアルとする。$\widehat{A}$ は平坦 $A$ 加群である。$(A, \mathfrak{m})$ が Noether 局所環で $I = \mathfrak{m}$ なら、$\widehat{A}$ は忠実平坦 $A$ 加群である。

証明（定理 6.7）

定理 4.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (3) を確かめます。イデアル $\mathfrak{a}$ と包含 $j\colon \mathfrak{a} \to A$ について、テンソル積の可換性（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (1)）により $\mathfrak{a} \otimes \widehat{A} \to A \otimes \widehat{A}$ は $1 \otimes j\colon \widehat{A} \otimes \mathfrak{a} \to \widehat{A} \otimes A$ と同一視され、定理 6.2 の自然性によりさらに $\widehat{j}\colon \widehat{\mathfrak{a}} \to \widehat{A}$ と同一視されます。$\mathfrak{a}$ は有限生成なので、定理 6.1 により $\widehat{j}$ は単射です。よって $\widehat{A}$ は平坦です。

局所環の場合、定理 6.6 の (2) により $\widehat{A}$ は極大イデアル $\mathfrak{m}\widehat{A}$ の局所環で、$\iota_A(\mathfrak{m}) \subseteq \mathfrak{m}\widehat{A}$ なので $\iota_A$ は局所準同型です。系 6.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (1) により忠実平坦です。

∎

局所環でない場合、忠実平坦性は成り立ちません。$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p$ は平坦ですが、素数 $q \ne p$ は $\mathbb{Z}_p$ で単元なので $\mathbb{Z}/q \otimes \mathbb{Z}_p = \mathbb{Z}_p/q\mathbb{Z}_p = 0$ です（演習 9.3）。忠実平坦性により、Noether 局所環 $A$ のイデアル $\mathfrak{a}$ について $\mathfrak{a}\widehat{A} \cap A = \mathfrak{a}$ が成り立ち、$A$ のイデアルの情報は完備化で失われません。

定義 6.8（形式ファイバー）↗

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$\mathfrak{p}$ をその素イデアル、$\kappa(\mathfrak{p}) = A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$ を剰余体とする。環 $\widehat{A} \otimes_A \kappa(\mathfrak{p})$ を $\mathfrak{p}$ における $A$ の形式ファイバーという。

形式ファイバーの素イデアルは、$\widehat{A}$ の素イデアルのうち $A$ への引き戻しが $\mathfrak{p}$ になるものと対応します。$\mathfrak{p} = \mathfrak{m}$ では $\widehat{A} \otimes k \cong \widehat{A}/\mathfrak{m}\widehat{A} \cong k$ です。

例 6.9（k[x] の原点での形式ファイバー）

$A = k[x]_{(x)}$、$\widehat{A} = k[[x]]$ とします。生成点 $\mathfrak{p} = 0$ では $\kappa(0) = k(x)$ で、$\widehat{A} \otimes_A k(x)$ は $k[[x]]$ を $A \setminus \{0\}$ で局所化した環です。$A$ の $0$ でない元は $k[[x]]$ の中で $x^e u$（$u$ は単元）と書けるので、この局所化は $k[[x]][1/x] = k((x))$（Laurent 級数体）です。二つの形式ファイバー $k$ と $k((x))$ はどちらも体です。Kähler 微分と滑らかさの入口 の章で述べる優秀環（定義 11.2［Kähler 微分と滑らかさの入口］）は、形式ファイバーが幾何的に正則（定義 11.1［Kähler 微分と滑らかさの入口］）という条件で定義され、代数幾何で現れる局所環はこの性質をもちます。

7. Hensel の補題

局所環 $(A, \mathfrak{m}, k)$ と $f \in A[x]$ について、係数を $k$ に落とした多項式を $\bar f \in k[x]$ と書きます。$\mathfrak{m}^n[x]$ で係数がすべて $\mathfrak{m}^n$ に入る多項式全体（$A[x]$ のイデアル）を表します。$\mathfrak{m}^i[x] \cdot \mathfrak{m}^j[x] \subseteq \mathfrak{m}^{i+j}[x]$ です。$k[x]$ の多項式 $g_0, h_0$ が互いに素であるとは、$(g_0, h_0) = k[x]$、すなわち $a_0g_0 + b_0h_0 = 1$ となる $a_0, b_0 \in k[x]$ があることをいいます。

定義 7.1（Hensel 局所環・狭義 Hensel 局所環）↗

局所環 $(A, \mathfrak{m}, k)$ が Hensel 局所環であるとは、任意のモニック多項式 $f \in A[x]$ と、$\bar f = g_0h_0$ を満たす互いに素なモニック多項式 $g_0, h_0 \in k[x]$ に対し、$f = gh$、$\bar g = g_0$、$\bar h = h_0$ となるモニック多項式 $g, h \in A[x]$ が存在することをいう。Hensel 局所環で、剰余体 $k$ が分離閉体（$k$ 上の分離的な既約多項式は 1 次式に限る）であるものを狭義 Hensel 局所環という。

補題 7.2（モニック多項式による割り算）✓

$R$ を環、$g \in R[x]$ を $r$ 次のモニック多項式、$J$ を $R$ のイデアルとする。係数がすべて $J$ に入る $f \in R[x]$ について、係数がすべて $J$ に入る $q, u \in R[x]$ で $f = qg + u$、$\deg u < r$（$u = 0$ を含む）となるものが存在する。

証明（補題 7.2）

$\deg f$ についての帰納法です。$f = 0$ または $\deg f < r$ なら $q = 0$、$u = f$ とします。$\deg f = m \ge r$ で最高次の係数が $c \in J$ なら、$g$ はモニックなので $f - cx^{m-r}g$ は次数が $m$ 未満で係数はすべて $J$ に入ります。これに帰納法の仮定を使い、$q$ に $cx^{m-r}$ を足せばよいです。

∎

定理 7.3（Hensel の補題）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を完備局所環、$f \in A[x]$ をモニック多項式とし、$\bar f = g_0h_0$ を満たす互いに素なモニック多項式 $g_0, h_0 \in k[x]$ があるとする。このとき $f = gh$、$\bar g = g_0$、$\bar h = h_0$ となるモニック多項式 $g, h \in A[x]$ が存在する。

証明の方針は、§1 の $\sqrt{2}$ と同じく、法 $\mathfrak{m}^n$ で成り立つ分解 $f \equiv g_nh_n$ を、一段ずつ法 $\mathfrak{m}^{n+1}$ に直していくことです。誤差 $e_n$ を「$g_n$ の倍数」と「$h_n$ の倍数」に振り分けて $g_n$、$h_n$ を少しだけ修正します。互いに素という仮定はこの振り分けに使い、完備性は修正の列の極限を取るのに使います。

証明（定理 7.3）

$r = \deg g_0$、$s = \deg h_0$ とします。$f$ はモニックなので $\deg f = \deg \bar f = r + s$ です。$g_0, h_0$ の係数を（最高次の係数は $1$ のまま）持ち上げたモニック多項式を $g_1, h_1$、$a_0g_0 + b_0h_0 = 1$ の $a_0, b_0$ を持ち上げたものを $a, b$ とすると、$ag_1 + bh_1 - 1 \in \mathfrak{m}[x]$、$f - g_1h_1 \in \mathfrak{m}[x]$ です。

$n \ge 1$ について、次を満たすモニック多項式 $g_n, h_n$ が得られたとします: $\deg g_n = r$、$\deg h_n = s$、$g_n - g_1, h_n - h_1 \in \mathfrak{m}[x]$、$e_n = f - g_nh_n \in \mathfrak{m}^n[x]$。$\deg e_n < r + s$ です。$ag_n + bh_n - 1 \in \mathfrak{m}[x]$ も成り立ちます。補題 7.2 により $e_nb = qg_n + u$（$q, u \in \mathfrak{m}^n[x]$、$\deg u < r$）と書けます。$e_n(ag_n + bh_n - 1) \in \mathfrak{m}^{n+1}[x]$ なので、$v' = e_na + qh_n \in \mathfrak{m}^n[x]$ とおくと

$$e_n \equiv e_nag_n + e_nbh_n = v'g_n + uh_n \pmod{\mathfrak{m}^{n+1}[x]}$$

です。$v'g_n \equiv e_n - uh_n$ の右辺は次数が $r + s$ 未満です。$v'$ の $s$ 次以上の係数がすべて $\mathfrak{m}^{n+1}$ に入ることを示します。そうでないとして、$\mathfrak{m}^{n+1}$ に入らない係数をもつ最大の次数を $j \ge s$ とすると、$g_n$ がモニックなので $v'g_n$ の $x^{j+r}$ の係数は $v'$ の $x^j$ の係数と $\mathfrak{m}^{n+1}$ を法として等しく、$\mathfrak{m}^{n+1}$ に入りません。$j + r \ge r + s$ なので右辺との合同に反します。そこで $v'$ の $s$ 次未満の部分を $v$ とすると、$v \in \mathfrak{m}^n[x]$、$\deg v < s$、$(v' - v)g_n \in \mathfrak{m}^{n+1}[x]$ で、$e_n \equiv vg_n + uh_n \pmod{\mathfrak{m}^{n+1}[x]}$ です。

$g_{n+1} = g_n + u$、$h_{n+1} = h_n + v$ とおくと、これらは次数 $r$、$s$ のモニック多項式で、

$$f - g_{n+1}h_{n+1} = e_n - (vg_n + uh_n) - uv \in \mathfrak{m}^{n+1}[x]$$

です（$uv \in \mathfrak{m}^{2n}[x] \subseteq \mathfrak{m}^{n+1}[x]$）。こうして帰納的に列 $(g_n)$、$(h_n)$ が得られ、$g_{n+1} - g_n, h_{n+1} - h_n \in \mathfrak{m}^n[x]$ です。

各 $i$ について $g_n$ の $x^i$ の係数 $c_n$ は $c_{n+1} \equiv c_n \pmod{\mathfrak{m}^n}$ を満たすので、$(c_n + \mathfrak{m}^n)_n \in \varprojlim A/\mathfrak{m}^n$ です。$A$ は完備なので、すべての $n$ で $c - c_n \in \mathfrak{m}^n$ となる $c \in A$ があります。この係数で $g$ を、同様に $h$ を作ると、$g, h$ は次数 $r$、$s$ のモニック多項式で $g - g_n, h - h_n \in \mathfrak{m}^n[x]$ です。すると

$$f - gh = e_n - (g - g_n)h - g_n(h - h_n) \in \mathfrak{m}^n[x]$$

がすべての $n$ で成り立ち、$\bigcap_n \mathfrak{m}^n = \ker\iota_A = 0$ から $f = gh$ です。$\bar g = \bar g_1 = g_0$、$\bar h = h_0$ です。

∎

証明は Newton 法と同じ逐次近似です。互いに素の仮定は、各段で誤差 $e_n$ を $vg_n + uh_n$ の形に分けるのに使われ、完備性は近似列の極限を取るのに使われています。

系 7.4（完備局所環は Hensel 局所環）✓

1. 完備局所環は Hensel 局所環である。
2. $(A, \mathfrak{m}, k)$ を Hensel 局所環、$f \in A[x]$ をモニック多項式、$\alpha \in k$ を $\bar f(\alpha) = 0$、$\bar f'(\alpha) \ne 0$ を満たす元とする。このとき $f(a) = 0$、$\bar a = \alpha$ となる $a \in A$ が存在する。

証明（系 7.4）

(1) は 定理 7.3 と 定義 7.1 の比較そのものです。

(2) 補題 7.2 を $k[x]$ で $x - \alpha$ に使うと $\bar f = (x - \alpha)h_0 + c$（$c \in k$）で、$x = \alpha$ を代入して $c = \bar f(\alpha) = 0$ です。$\bar f$ はモニックなので $h_0$ もモニックです。微分すると $\bar f' = h_0 + (x - \alpha)h_0'$ なので $h_0(\alpha) = \bar f'(\alpha) \ne 0$ です。同じ割り算で $h_0 = (x - \alpha)q + h_0(\alpha)$ なので、単元 $h_0(\alpha)$ はイデアル $(x - \alpha, h_0)$ に入り、$x - \alpha$ と $h_0$ は互いに素です。Hensel 局所環の定義から $f = gh$、$\bar g = x - \alpha$ となるモニック多項式 $g, h$ があり、$g$ は 1 次なので $g = x - a$、$\bar a = \alpha$ です。$f(a) = g(a)h(a) = 0$ です。

∎

例 7.5（7 進整数の中の √2）

$\mathbb{Z}_{(7)}$ は Noether 局所環（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (2)）で、その完備化 $\mathbb{Z}_7$（例 3.3）は 定理 6.6 により剰余体 $\mathbb{F}_7$ の完備局所環です。$f = x^2 - 2$ について $\bar f(3) = 7 = 0$、$\bar f'(3) = 6 \ne 0$ なので、系 7.4 により $a^2 = 2$、$a \equiv 3 \pmod 7$ となる $a \in \mathbb{Z}_7$ があります。証明の逐次近似を実行すると、$a$ の $\mathbb{Z}/7^n$ での像は $3, 10, 108, \ldots$ です（演習 9.1）。

一方、$\mathbb{F}_7$ の平方元は $0, 1, 2, 4$ だけなので、$x^2 - 3$ は $\mathbb{F}_7$ に根をもたず、$\mathbb{Z}_7$ にも根はありません（根があれば $7$ を法として根になります）。単根の仮定も外せません。$x^2 - 7$ は $\mathbb{F}_7$ で重根 $0$ をもちますが、$a^2 = 7$ なら $a \in 7\mathbb{Z}_7$ となり $a^2 \in 49\mathbb{Z}_7$ なので、$7 \in 49\mathbb{Z}_7$、すなわち $7$ が $\mathbb{Z}/49$ で $0$ となって矛盾します。

x² = 2 の解の持ち上げ。各段は法 7ⁿ での解で、左向きの矢印は剰余を取る写像。両立する列の全体が 7 進整数 a = √2 を定める。

8. 係数体と Cohen の構造定理

定義 8.1（係数体）↗

局所環 $(A, \mathfrak{m}, k)$ の部分環で体であるものを、$A$ に含まれる体という。$A$ に含まれる体 $K$ で、合成 $K \hookrightarrow A \to k$ が全単射であるものを $A$ の係数体という。

$K$ が $A$ に含まれる体なら、$K$ の $0$ でない元は $A$ の単元なので $K \cap \mathfrak{m} = 0$ で、$K \to k$ はつねに単射です。係数体は「剰余体を $A$ の中に持ち上げたもの」です。$k[[x]]$ では定数の体 $k$ が係数体です。$\mathbb{Z}_p$ は体を含みません。$\mathbb{Z}$ は整域なので 系 5.2 の (2) により $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p$ は単射で、したがって $\mathbb{Z}_p$ の部分体の標数は $0$ で、その部分体は $1/p$ を含むはずですが、$p$ は $\mathbb{Z}_p$ の極大イデアルに入り単元ではないからです。

定理 8.2（標数 0 での係数体の存在）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を完備局所環とし、$A$ が標数 $0$ の体 $F$ を含むとする。このとき $A$ は $F$ を含む係数体をもつ。

証明の方針は、$F$ を含む最大の部分体 $K$ を取り、$K$ の像が剰余体に届いていなければ、剰余体の元が像の上で超越的な場合は元を付け加え、代数的な場合は Hensel の補題で最小多項式の根を持ち上げて、いずれも $K$ をさらに大きくできる、という矛盾を導くことです。

証明（定理 8.2）

正の整数 $n$ について $n \cdot 1$ は $F$ の $0$ でない元なので $A$ の単元で、$\mathfrak{m}$ に入りません。よって $k$ の標数は $0$ です。

$F$ を含む $A$ の部分体全体を $\Sigma$ とし、包含で順序を入れます。$F \in \Sigma$ で、$\Sigma$ の空でない鎖の和集合は（二元はある共通の元に入るので）また部分体です。定理 5.1［選択公理と Zorn の補題］ により極大元 $K$ があります。$K \to k$ は単射なので、その像を $\bar K$ とし、$\bar K = k$ を示します。$K$ 係数の多項式の係数を $\bar K$ に送る同型 $K[x] \cong \bar K[x]$ を $\varphi \mapsto \bar\varphi$ と書きます。

段階 1（$k$ は $\bar K$ 上代数的）。 $t \in A$ の像 $\bar t$ が $\bar K$ 上超越的だとします。$0$ でない $\varphi \in K[x]$ について $\varphi(t)$ の像 $\bar\varphi(\bar t)$ は $0$ でないので、$\varphi(t) \notin \mathfrak{m}$、すなわち $\varphi(t)$ は単元です（補題 3.9［局所化と素イデアルのスペクトル］）。よって $L = \{ \varphi(t)\psi(t)^{-1} : \varphi, \psi \in K[x],\ \psi \ne 0 \}$ は和・積で閉じ、$0$ でない元 $\varphi(t)\psi(t)^{-1}$（$\varphi \ne 0$）の逆元 $\psi(t)\varphi(t)^{-1}$ を含むので、$A$ の部分体です。$\bar t \notin \bar K$ なので $t \notin K$ で、$L \supsetneq K$ は $K$ の極大性に反します。$k$ の元はすべて $\bar t$ の形なので、$k$ は $\bar K$ 上代数的です。

段階 2（$k = \bar K$）。 $\alpha \in k$ を取り、$\bar K$ 上の最小多項式を $\mu$ とします（命題 6.2［多項式環と体の拡大］）。$\bar K$ の標数は $0$ なので 命題 6.11［多項式環と体の拡大］ により $\mu' \ne 0$ で、$\deg \mu' < \deg \mu$ なので $\mu' \notin (\mu)$ です。$\bar K[x]$ は PID（命題 7.2［イデアルと剰余環］）で $\mu$ は既約なので $(\mu)$ は極大イデアルであり（補題 2.4［多項式環と体の拡大］）、$(\mu, \mu') = \bar K[x]$ です。$B\mu + C\mu' = 1$ に $\alpha$ を代入すると $C(\alpha)\mu'(\alpha) = 1$ なので $\mu'(\alpha) \ne 0$ です。

$\bar f = \mu$ となるモニックな $f \in K[x]$ を取ります。$f$ を $A[x]$ の元とみると、$\alpha$ は $\bar f = \mu$ の単根なので、定理 7.3 と 系 7.4 の (2) により $f(a) = 0$、$\bar a = \alpha$ となる $a \in A$ があります。代入 $K[x] \to A$、$x \mapsto a$ の核は $f$ を含み、$1$ を含まない真のイデアルです。$f$ は $K[x]$ で既約（$\mu$ が既約）なので $(f)$ は極大で、核は $(f)$ に等しく、像 $K[a] \cong K[x]/(f)$ は体です（定理 5.1［イデアルと剰余環］、定理 6.3［イデアルと剰余環］）。$K[a] \in \Sigma$ で $K[a] \supseteq K$ なので、極大性から $a \in K$、したがって $\alpha = \bar a \in \bar K$ です。

∎

系 8.3（標数 0 の完備局所環は冪級数環の剰余環）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を完備 Noether 局所環とし、$A$ が標数 $0$ の体を含むとする。$\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_r)$ とする。このとき係数体 $K$ と、$K[[x_1, \ldots, x_r]] \to A$、$x_i \mapsto a_i$ となる全射 $K$ 代数準同型が存在する。とくに $A$ は $k[[x_1, \ldots, x_r]]$ の剰余環に同型である。

証明（系 8.3）

定理 8.2 により係数体 $K$ があります。補題 6.5 を $B = A$、$J = \mathfrak{m}$、$R = K$、$\sigma$ を包含、$b_i = a_i$ として使います。$A$ は $\mathfrak{m}$ 進完備で、$\mathfrak{m}$ は $a_i$ で生成され、$K \to k$ が全射なので $A = K + \mathfrak{m}$ です。よって $\varphi\colon K[[x_1, \ldots, x_r]] \to A$ は全射です。$K \cong k$ なので $K[[x_1, \ldots, x_r]] \cong k[[x_1, \ldots, x_r]]$ で、準同型定理（定理 5.1［イデアルと剰余環］）から最後の主張が従います。

∎

$r$ として埋め込み次元 $\dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ が取れます（系 3.6［加群・完全列・中山の補題］）。たとえば $\mathbb{C}$ 上の曲線の特異点の完備局所環は $\mathbb{C}[[x, y]]/\mathfrak{a}$ の形をしており、特異点の解析的な分類はこの形から始まります。

体を含まない完備局所環（$\mathbb{Z}_p$ や $\mathbb{Z}_p[[x]]/(x^2 - p)$ など）や、正標数の体を含む完備局所環についても、同じ形の構造定理が成り立ちます。

定理 8.4（Cohen の構造定理）※

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を完備 Noether 局所環とする。

1. $A$ が体を含むなら、$A$ は係数体 $K$ をもち、ある $r$ について $A$ は $K[[x_1, \ldots, x_r]]$ の剰余環に同型である。
2. $A$ が体を含まないなら、$k$ の標数は素数 $p$ であり、剰余体が $k$ で極大イデアルが $pV$ である完備離散付値環 $V$（Cohen 環）と環準同型 $V \to A$ があって、ある $r$ について $A$ は $V[[x_1, \ldots, x_r]]$ の剰余環に同型である。

注意 8.5（主張のみとする理由と出典）

この定理は証明を書かず主張のみとします。標数 $0$ の体を含む場合は 定理 8.2 と 系 8.3 で証明済みで、残るのは正標数の等標数の場合と混標数の場合です。

• 正標数の等標数の場合。 定理 8.2 の証明は段階 2 で壊れます。極大部分体 $K$ について $k/\bar K$ が非分離的になり得て、たとえば $\alpha$ の最小多項式が $x^p - \bar c$ なら微分が $0$ で、Hensel の補題で持ち上げる単根がありません。Cohen はこれを、$k$ の $p$ 基底（$k$ を $k^p$ 上で生成する極小な集合）を持ち上げ、$A$ の中で $p^n$ 乗の元が作る部分環を使って係数体を直接構成することで解決しました。$p$ 基底の理論と形式的滑らかさの議論が要ります。
• 混標数の場合。 まず任意の標数 $p$ の体 $k$ に対して Cohen 環 $V$ が存在することを示す必要があり、$k$ が完全体なら Witt ベクトル環 $W(k)$、一般には $p$ 基底に沿った超限的な不分岐拡大の構成が要ります。さらに $V \to A$ を作るには $V$ の $\mathbb{Z}_p$ 上の形式的滑らかさを使います。

二つを合わせると教科書の 1 章分を超え、この記事の範囲を大きく外れます。出典: I. S. Cohen, “On the structure and ideal theory of complete local rings”, Trans. Amer. Math. Soc. 59 (1946), 54–106。H. Matsumura『Commutative Ring Theory』§29、D. Eisenbud『Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry』§7.4。

このテーマでこの定理に依存するのは、Kähler 微分と滑らかさの入口 の章の Kunz の定理（定理 10.4［Kähler 微分と滑らかさの入口］。同じく主張のみで、理由は 注意 10.5［Kähler 微分と滑らかさの入口］）だけです。標数 $0$ で足りる議論では 系 8.3 を使ってください。

この章の結果は次のように使われます。代数的整数論では、Dedekind 整域の素イデアルでの局所化を完備化して局所体の整数環を作り、Hensel の補題で多項式の分解や単数の構造を調べます。代数幾何では、形式関数の定理の前提として完備化の平坦性と Artin–Rees の補題を使い、特異点を完備局所環 $k[[x_1, \ldots, x_r]]/\mathfrak{a}$ で比較します。次数環と Hilbert–Samuel 多項式 の章では $\operatorname{gr}_\mathfrak{m}(A)$ と Artin–Rees の補題から Hilbert–Samuel 多項式を作り $\dim \widehat{A} = \dim A$ を示し、Cohen–Macaulay 環と正則局所環 の章では正則局所環の判定に $\operatorname{gr}$ を使います。

9. 演習

演習 9.1易

$a_1 = 3$ から始め、$a_{n+1} = a_n + 7^n t$（$0 \le t < 7$）の形で $a_{n+1}^2 \equiv 2 \pmod{7^{n+1}}$ となるように $a_2, a_3$ を求めよ。

解答

$a_2 = 3 + 7t$ とすると $a_2^2 = 9 + 42t + 49t^2 \equiv 9 + 42t \pmod{49}$ で、$9 + 42t \equiv 2$ は $42t \equiv -7$、両辺を $7$ で割って $6t \equiv -1 \pmod 7$、すなわち $t = 1$ です。$a_2 = 10$、$10^2 = 100 = 2 \cdot 49 + 2$ です。

$a_3 = 10 + 49t$ とすると $a_3^2 \equiv 100 + 980t \pmod{343}$ で、$100 + 980t \equiv 2$ は $980t \equiv -98$ です。$49$ で割って $20t \equiv -2 \pmod 7$、すなわち $6t \equiv 5 \pmod 7$ で、$6^{-1} \equiv 6$ から $t \equiv 30 \equiv 2$ です。$a_3 = 108$、$108^2 = 11664 = 34 \cdot 343 + 2$ です。各段で $t$ が一意に決まるのは $\bar f'(3) = 6$ が $\mathbb{F}_7$ で可逆だからで、これは 定理 7.3 の証明で $e_n$ を分ける操作の 1 次の場合です。

演習 9.2標準

体 $k$ 上の $A = M = k[x]$、$I = (x)$、$N = (x^2)$ について、$I^n \cap N$ を求め、定理 4.3 の等式が $c = 2$ では成り立ち、$c = 0, 1$ では成り立たないことを示せ。

解答

$I^n \cap N = (x^n) \cap (x^2) = (x^{\max(n, 2)})$ です。$c = 2$、$n \ge 2$ では $I^{n-2}(I^2 \cap N) = (x^{n-2})(x^2) = (x^n) = I^n \cap N$ です。$c = 1$、$n = 1$ では $I^0(I \cap N) = (x^2)$ と $I \cap N = (x^2)$ は一致しますが、$n = 2$ では $I(I \cap N) = (x^3) \ne (x^2) = I^2 \cap N$ です。$c = 0$ では $n = 1$ で $I(A \cap N) = (x^3) \ne (x^2)$ です。このように $c$ は $N$ の生成元がどれだけ深く $I$ に入っているかで決まり、一般には $0$ にできません。

演習 9.3標準

$p$ を素数とし、$\mathbb{Z}$ の $(p)$ 進完備化 $\mathbb{Z}_p$ を考える。$\mathbb{Z}_p$ は平坦 $\mathbb{Z}$ 加群だが忠実平坦ではないことを示せ。また $\mathbb{Z}_p$ の素イデアルの $\mathbb{Z}$ への引き戻しは $(0)$ か $(p)$ であることを示せ。

解答

$\mathbb{Z}$ は Noether 環なので、定理 6.7 により $\mathbb{Z}_p$ は平坦です。素数 $q \ne p$ は各 $\mathbb{Z}/p^n$ で可逆で、逆元は一意なので両立し、$\mathbb{Z}_p$ での $q$ の逆元を与えます。よって $\mathbb{Z}/q \otimes \mathbb{Z}_p \cong \mathbb{Z}_p/q\mathbb{Z}_p = 0$（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (5)）で、$\mathbb{Z}/q \ne 0$ なので忠実平坦ではありません。

素イデアル $\mathfrak{P} \subseteq \mathbb{Z}_p$ の引き戻しは $\mathbb{Z}$ の素イデアルで、$(0)$ か $(q)$（$q$ は素数）です。$q \ne p$ なら $q$ は単元なので $\mathfrak{P}$ に入らず、引き戻しは $(q)$ になり得ません。よって $(0)$ か $(p)$ です。系 6.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (2) の結論（Spec の全射性）がここで成り立たないことも、忠実平坦でないことを示しています。

参考文献

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald『Introduction to Commutative Algebra』Addison-Wesley, 1969 — 第 10 章（完備化、Artin–Rees の補題、Krull の交叉定理）。
• H. Matsumura『Commutative Ring Theory』Cambridge University Press, 1986 — §8（完備化と Artin–Rees の補題）、§29（Cohen の構造定理）。
• D. Eisenbud『Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry』Springer, GTM 150, 1995 — 第 7 章（完備化と Hensel の補題、§7.4 構造定理）。
• I. S. Cohen, “On the structure and ideal theory of complete local rings”, Trans. Amer. Math. Soc. 59 (1946), 54–106.
• J.-P. Serre『Local Fields』Springer, GTM 67, 1979 — 第 II 章（完備離散付値環と Hensel の補題の応用）。