局所環と整域での交叉定理

系 5.2（「完備化と Artin–Rees の補題」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Noether 環、 $I$ をイデアル、 $M$ を有限生成 $A$ 加群とする。

$I \subseteq \operatorname{Jac}(A)$ なら $\bigcap_n I^nM = 0$ であり、 $\iota_M\colon M \to \widehat{M}$ は単射である。とくに Noether 局所環 $(A, \mathfrak{m})$ では $\bigcap_n \mathfrak{m}^nM = 0$ で、 $A \to \widehat{A}$ は単射である。
$A$ が整域で $I \ne A$ なら $\bigcap_n I^n = 0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 24 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
Krull の交叉定理✓定理 5.1・完備化と Artin–Rees の補題
- Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - 安定性と Rees 加群の有限生成性✓補題 4.2・完備化と Artin–Rees の補題
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
    多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 3 件

正則列と随伴次数環✓補題 5.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
正則局所環は整域✓定理 6.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
永田の判定法（素元一つの場合）✓補題 8.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

局所環と整域での交叉定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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