Krull の交叉定理

定理 5.1（「完備化と Artin–Rees の補題」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Noether 環、 $I$ をイデアル、 $M$ を有限生成 $A$ 加群とし、 $N = \bigcap_{n \ge 1} I^nM$ とおく。このとき $IN = N$ であり、

N = \{\, x \in M : \text{ある } a \in I \text{ について } (1 - a)x = 0 \,\}

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 安定性と Rees 加群の有限生成性✓補題 4.2・完備化と Artin–Rees の補題
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
- 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
  - 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題
    多項式環定義 6.1・環と体の基礎
  - 可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 2 件

1 点の爆発✓定理 7.3・曲面上の交叉理論
局所環と整域での交叉定理✓系 5.2・完備化と Artin–Rees の補題

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前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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