数学 › 可換環論 › Noether 環と Artin 環
鎖条件の言い換え
を 加群とし、 を の部分加群からなる集合とする。
- の元からなる昇鎖がつねに止まることと、 の空でない部分集合がつねに（包含に関する）極大元をもつことは同値である。降鎖と極小元についても同様である。
- が Noether 加群であることと、 のすべての部分加群が有限生成であることは同値である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義
証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。
これを使っている定理 証明で参照している 17 件
- 安定性と Rees 加群の有限生成性✓補題 4.2・完備化と Artin–Rees の補題
- Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題
- Krull の交叉定理✓定理 5.1・完備化と Artin–Rees の補題
- 完備化とテンソル積✓定理 6.2・完備化と Artin–Rees の補題
- Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環
- Dedekind 環上の有限生成加群✓命題 10.3・離散付値環と Dedekind 環
- 随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Hilbert–Serre の定理✓定理 4.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Hilbert–Samuel 多項式と完全列✓補題 5.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
- Formanek の補題✓補題 7.1・Noether 環と Artin 環
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素フィルトレーション✓定理 3.1・準素分解と随伴素イデアル
- 既約部分加群は準素✓補題 5.2・準素分解と随伴素イデアル