Hilbert–Samuel 多項式と完全列

補題 5.3（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアル、 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ を有限生成 $A$ 加群の短完全列とする。このとき、大きい $n$ で

\chi^{\mathfrak{q}}_M(n) = \chi^{\mathfrak{q}}_{M''}(n) + g(n)

となる多項式 $g$ があり、 $M' \ne 0$ なら $g$ は $\chi^{\mathfrak{q}}_{M'}$ と同じ次数と最高次の係数をもち、 $M' = 0$ なら $g = 0$ である。とくに $M \ne 0$ なら、 $d(M)$ は $d(M')$ と $d(M'')$ のうち、 $0$ でない加群についてのものの最大値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 46 件、定義なども含めて 58 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環
  - 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 安定性と Rees 加群の有限生成性✓補題 4.2・完備化と Artin–Rees の補題
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 次数環の Noether 性✓命題 2.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 次数部分の有限性✓補題 4.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - 加群の長さ定義 5.4・Noether 環と Artin 環
- Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
  - 二項係数定義 7.1・数え上げと母関数
- 根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

これを使っている定理証明で参照している 2 件

零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
重複度の基本性質✓命題 5.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

Hilbert–Samuel 多項式と完全列

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件