数学 › 可換環論 › Noether 環と Artin 環
秋月–Hopkins の定理（可換環）
環 について、次は同値である。
- は Artin 環である。
- は Noether 環で、 の素イデアルはすべて極大イデアルである。
さらにこのとき である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 20 件、定義なども含めて 27 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環
- 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
これを使っている定理 証明で参照している 7 件
- 互いに素な 2 元は正則列✓補題 2.1・曲面上の交叉理論
- 捩れのない加群の剰余の長さ✓補題 7.1・離散付値環と Dedekind 環
- 次数部分の有限性✓補題 4.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Hilbert–Serre の定理✓定理 4.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 次元 0 の Noether 環✓系 2.5・Krull 次元と単項イデアル定理
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- Noether 局所環が Artin になる条件✓系 6.5・Noether 環と Artin 環