𝔪 準素イデアルの判定

補題 4.1（「Krull 次元と単項イデアル定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、 $I \subseteq \mathfrak{m}$ をイデアルとする。次は同値である。

$\mathfrak{m}$ は $I$ の極小素イデアルである（すなわち $I$ を含む素イデアルは $\mathfrak{m}$ だけである）。
$\sqrt{I} = \mathfrak{m}$ である。
ある $t \ge 1$ で $\mathfrak{m}^t \subseteq I$ である。
$A/I$ は Artin 環である。

さらにこのとき $I$ は $\mathfrak{m}$ 準素イデアルであり、逆に $\mathfrak{m}$ 準素イデアルは 1〜4 を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 44 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環
  - 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 8 件

パラメータ系と正則列✓定理 3.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
パラメータイデアルの重複度と CM 性✓定理 5.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環
F 有限な正則局所環の Frobenius✓命題 10.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理
一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理
Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理
元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理

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