極大イデアルの積が 0 になる環

補題 6.2（「Noether 環と Artin 環」§6）・ ✓公理まで証明済み

環 $A$ の極大イデアル $\mathfrak{m}_1, \ldots, \mathfrak{m}_n$ （重複を許す）について $\mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_n = 0$ とする。このとき、 $A$ が Noether 環であることと Artin 環であることは同値で、そのとき $\ell_A(A) = \sum_{i=1}^{n} \dim_{A/\mathfrak{m}_i} \mathfrak{a}_{i-1}/\mathfrak{a}_i < \infty$ である。ただし $\mathfrak{a}_0 = A$ 、 $\mathfrak{a}_i = \mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_i$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環
- 加群定義 2.1・加群と PID 上の構造定理
- 次元定義 5.6・ベクトル空間と線形変換
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環
  - 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環

これを使っている定理証明で参照している 1 件

秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環

極大イデアルの積が 0 になる環

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件