数学 › 可換環論 › Noether 環と Artin 環

長さの加法性

命題 5.5（「Noether 環と Artin 環」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を環とする。

$0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ が完全なら $\ell_A(M) = \ell_A(M') + \ell_A(M'')$ （ $\infty$ を含めて。 $M$ が有限の長さをもつことと、 $M'$ 、 $M''$ がともに有限の長さをもつことは同値）。
部分加群の鎖 $M = L_0 \supseteq L_1 \supseteq \cdots \supseteq L_r = 0$ について $\ell_A(M) = \sum_{i=1}^{r} \ell_A(L_{i-1}/L_i)$ 。
$\ell_A(M) < \infty$ で $N \subsetneq M$ が部分加群なら $\ell_A(N) < \ell_A(M)$ 。したがって $M$ の部分加群の狭義の鎖の長さは $\ell_A(M)$ 以下である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環
- 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環

これを使っている定理証明で参照している 11 件

Euler 標数の加法性✓命題 7.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
分岐と相対微分✓命題 3.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
有限個の点に台をもつ層の Euler 標数✓補題 2.3・曲面上の交叉理論
パラメータイデアルの重複度と CM 性✓定理 5.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
捩れのない加群の剰余の長さ✓補題 7.1・離散付値環と Dedekind 環
Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環
一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環
Hilbert–Serre の定理✓定理 4.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
Hilbert–Samuel 多項式と完全列✓補題 5.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環

関連するノック 4 問