Hilbert–Serre の定理

定理 4.4（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A = A_0[x_1, \ldots, x_s]$ を上のような次数環とし、 $A_0$ は Artin 環であるとする。有限生成次数 $A$ 加群 $M$ について、

P_M(t)\prod_{i=1}^{s}(1 - t^{k_i}) \in \mathbb{Z}[t]

である。すなわち Hilbert 級数は、分母が $\prod_i (1 - t^{k_i})$ の整数係数の有理関数である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環
  - 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
次数環の Noether 性✓命題 2.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
次数部分の有限性✓補題 4.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
斉次部分加群の判定と剰余✓補題 2.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環
  - 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環

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Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

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閉包の状態

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