数学 › 可換環論 › 次数環と Hilbert–Samuel 多項式

次数部分の有限性

補題 4.1（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 28 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環

  • Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環

    • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環

      • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
      • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
      • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
    • 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環

      • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
      • 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎 この先をたどる →
      • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  • 極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環

    • 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環

      • 加群定義 2.1・加群と PID 上の構造定理
      • 次元定義 5.6・ベクトル空間と線形変換
      • 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
      • 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環

      • 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
      • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
      • 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
      • Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
  • Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環

    • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
    • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
• 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
• 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環

  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• Hilbert–Serre の定理✓定理 4.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
• Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式