数学 › 代数学（群・環・体） › イデアルと剰余環
極大イデアルと体
を の可換環、 を のイデアルとする。 が極大イデアルであることと、剰余環 が体であることは同値である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 4 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
これを使っている定理 証明で参照している 13 件
- 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 完備化の Noether 性と局所性✓定理 6.6・完備化と Artin–Rees の補題
- 標数 0 での係数体の存在✓定理 8.2・完備化と Artin–Rees の補題
- 代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- Jacobson 環の判定✓補題 5.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
- 絶対平坦環の特徴づけ✓命題 7.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 既約多項式による構成✓命題 2.6・有限体の構造
- 整数環は Dedekind 整域✓定理 4.2・代数体の整数環と Dedekind 整域