数学 › 可換環論 › Noether の正規化と Hilbert の零点定理

代数閉体上の多項式環の極大イデアル

系 4.3（「Noether の正規化と Hilbert の零点定理」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環

  • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環

    • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
• Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

  • Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

    • 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎

      • 体定義 5.1・環と体の基礎
      • 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
      • 環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎 この先をたどる →
    • 整性の判定✓定理 2.3・整拡大

      • 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
    • 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大

      • 整性の判定✓定理 2.3・整拡大（上で展開済み）
    • 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    • 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

      • Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
      • 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
      • 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
      • 取り替え補題（代数的従属）✓補題 2.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  • 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
  • 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
• 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大

  • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  • 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
• 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大

  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環

      • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
      • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
    • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  • PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大

    • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環

      • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
      • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環
• Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅✓補題 6.3・Ext 層と Serre 双対
• Hilbert の零点定理✓定理 4.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

関連するノック 1 問

• 可換環論 第 39 問