Hilbert の零点定理

定理 4.4（「Noether の正規化と Hilbert の零点定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を代数閉体、 $J$ を $k[x_1, \ldots, x_n]$ のイデアルとする。

（弱い形） $\mathbf{V}(J) = \varnothing$ であることと $J = k[x_1, \ldots, x_n]$ であることは同値である。
（強い形） $\mathbf{I}(\mathbf{V}(J)) = \sqrt{J}$ 。
$\mathbf{V}$ と $\mathbf{I}$ は、 $k[x_1, \ldots, x_n]$ の根基イデアル全体と $k^n$ の代数的集合全体の間の、包含関係を逆にする互いに逆な全単射を与える。この対応で極大イデアル $\mathfrak{m}_a$ は 1 点 $\{a\}$ に対応する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 32 件、定義なども含めて 38 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
    体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎この先をたどる →
    整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
    整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
    代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
  - 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環

Hilbert の零点定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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