数学 › 代数学（群・環・体） › イデアルと剰余環

環の準同型定理（第一同型定理）

定理 5.1（「イデアルと剰余環」§5） ・ ✓公理まで証明済み

f ⁣:R→Sf \colon R \to S を環準同型とし、K:=ker⁡f={a∈R:f(a)=0}K := \ker f = \{ a \in R : f(a) = 0 \}、Im⁡f:=f(R)\operatorname{Im} f := f(R) とおく。このとき次が成り立つ。

  1. KK は RR の両側イデアルである。
  2. Im⁡f\operatorname{Im} f は SS の部分環である。
  3. 写像 fˉ ⁣:R/K→Im⁡f\bar f \colon R/K \to \operatorname{Im} f、fˉ(a+K):=f(a)\bar f(a + K) := f(a) は代表元の取り方によらずに定まり、環同型である。とくに R/ker⁡f≅Im⁡fR/\ker f \cong \operatorname{Im} f。

さらに π ⁣:R→R/K\pi \colon R \to R/K を自然な全射、ι ⁣:Im⁡f→S\iota \colon \operatorname{Im} f \to S を包含写像とすると f=ι∘fˉ∘πf = \iota \circ \bar f \circ \pi が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 10 件

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