多項式環の素イデアルのファイバー

補題 6.1（「Krull 次元と単項イデアル定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を環、 $\mathfrak{p}$ をその素イデアルとする。

$\mathfrak{p}[x]$ と $\mathfrak{p}[x] + (x)$ は $A[x]$ の素イデアルで、 $\mathfrak{p}[x] \subsetneq \mathfrak{p}[x] + (x)$ 、 $\mathfrak{p}[x] \cap A = (\mathfrak{p}[x] + (x)) \cap A = \mathfrak{p}$ である。
$P_1 \subsetneq P_2$ が $A[x]$ の素イデアルで $P_1 \cap A = P_2 \cap A = \mathfrak{p}$ なら、 $P_1 = \mathfrak{p}[x]$ である。
$P$ が $A[x]$ の素イデアルで $P \cap A = \mathfrak{p}$ 、 $P \ne \mathfrak{p}[x]$ なら、任意の $f \in P \setminus \mathfrak{p}[x]$ について、 $P$ は $\mathfrak{p}[x] + (f)$ を含むただ一つの素イデアル $Q \subseteq P$ である（すなわち $\mathfrak{p}[x] + (f) \subseteq Q \subseteq P$ なる素イデアル $Q$ は $P$ に限る）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理

多項式環の素イデアルのファイバー

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件