数学 › 可換環論 › 局所化と素イデアルのスペクトル

局所化のイデアルと素イデアルの対応

定理 3.6（「局所化と素イデアルのスペクトル」§3） ・ ✓公理まで証明済み

SS を環 AA の積閉集合、ι ⁣:A→S−1A\iota\colon A \to S^{-1}A を標準写像とする。

  1. AA のイデアル a\mathfrak{a} について、S−1aS^{-1}\mathfrak{a} は ι(a)\iota(\mathfrak{a}) で生成される S−1AS^{-1}A のイデアルである。S−1a=S−1AS^{-1}\mathfrak{a} = S^{-1}A であることと a∩S≠∅\mathfrak{a} \cap S \ne \varnothing であることは同値である。
  2. S−1AS^{-1}A の任意のイデアル b\mathfrak{b} について b=S−1(ι−1(b))\mathfrak{b} = S^{-1}\bigl(\iota^{-1}(\mathfrak{b})\bigr) である。
  3. p\mathfrak{p} を SS と交わらない素イデアルとすると、a/s∈S−1pa/s \in S^{-1}\mathfrak{p} と a∈pa \in \mathfrak{p} は同値であり、S−1pS^{-1}\mathfrak{p} は素イデアルで、ι−1(S−1p)=p\iota^{-1}(S^{-1}\mathfrak{p}) = \mathfrak{p} である。
  4. p↦S−1p\mathfrak{p} \mapsto S^{-1}\mathfrak{p} は、SS と交わらない AA の素イデアル全体から Spec⁡S−1A\operatorname{Spec} S^{-1}A への、包含関係を保つ全単射であり、逆写像は q↦ι−1(q)\mathfrak{q} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{q}) である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 27 件

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