数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › アフィンスキームとスキーム

Spec への射と環準同型

定理 3.4（「アフィンスキームとスキーム」§3） ・ ✓公理まで証明済み

XX を局所環付き空間、AA を環とする。

  1. 写像
Hom⁡(X,Spec⁡A)⟶Hom⁡Ring(A,Γ(X,OX)),(f,f#)↦fSpec⁡A#\operatorname{Hom}(X, \operatorname{Spec} A) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ring}}(A, \Gamma(X, \mathcal{O}_X)), \qquad (f, f^\#) \mapsto f^\#_{\operatorname{Spec} A}

（左辺は局所環付き空間の射）は全単射である。環準同型 φ\varphi に対応する射 (f,f#)(f, f^\#) は、f(x)={a∈A:φ(a)(x)=0}f(x) = \{ a \in A : \varphi(a)(x) = 0 \} で与えられ、f−1(D(a))=Xφ(a)f^{-1}(D(a)) = X_{\varphi(a)} である。 2. 環準同型 φ ⁣:A→B\varphi\colon A \to B に対応する射を Spec⁡φ ⁣:Spec⁡B→Spec⁡A\operatorname{Spec}\varphi\colon \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A と書く。その底空間の写像は q↦φ−1(q)\mathfrak{q} \mapsto \varphi^{-1}(\mathfrak{q})、茎の写像は φ\varphi の誘導する Aφ−1(q)→BqA_{\varphi^{-1}(\mathfrak{q})} \to B_{\mathfrak{q}} である。Spec⁡\operatorname{Spec} は環の圏からスキームの圏への反変関手で、(1) の全単射は XX と AA について自然である。すなわち Spec⁡ ⁣:Ringop→Sch\operatorname{Spec}\colon \mathsf{Ring}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Sch} は Γ ⁣:Sch→Ringop\Gamma\colon \mathsf{Sch} \to \mathsf{Ring}^{\mathrm{op}}、X↦Γ(X,OX)X \mapsto \Gamma(X, \mathcal{O}_X) の右随伴である。 3. Spec⁡\operatorname{Spec} は、環の圏の反対圏からアフィンスキームの圏（Sch\mathsf{Sch} の充満部分圏）への圏同値である。局所環付き空間 XX がアフィンスキームであることと、idΓ(X,OX)\mathrm{id}_{\Gamma(X, \mathcal{O}_X)} に対応する標準射 X→Spec⁡Γ(X,OX)X \to \operatorname{Spec}\Gamma(X, \mathcal{O}_X) が同型であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 48 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 12 件

関連するノック 2 問