被約誘導構造

定理 4.3（「スキームの性質と射」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をスキーム、 $Z \subseteq X$ を閉集合とする。

被約なスキーム $Z_{\mathrm{red}}$ と閉はめ込み $i\colon Z_{\mathrm{red}} \to X$ で、像が $Z$ であるものが存在する。 $X$ のアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ の上では、 $Z \cap U = V(I)$ となる根基イデアル $I$ について $i^{-1}(U) \cong \operatorname{Spec} A/I$ である。
$T$ を被約なスキーム、 $g\colon T \to X$ を $g(T) \subseteq Z$ となる射とする。 $i \circ \bar{g} = g$ となる射 $\bar{g}\colon T \to Z_{\mathrm{red}}$ がただ一つ存在する。
(1) の $(Z_{\mathrm{red}}, i)$ は同型を除いて一意である。これを $Z$ の被約誘導構造という。 $Z = X$ のとき $X_{\mathrm{red}}$ と書き、 $X$ の被約化という。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 80 件、定義なども含めて 100 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキーム
  - 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキーム
  - 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
  - Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
- 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 忠実・充満・本質的全射定義 4.5・圏・関手・自然変換
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換
  - 圏同値・骨格定義 6.1・圏・関手・自然変換
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
  - 自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射
- 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層この先をたどる →
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
- 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム
- 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

体上有限型のスキームの閉点✓補題 2.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
1 点の爆発✓定理 7.3・曲面上の交叉理論

被約誘導構造

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件