アフィンスキームへの閉はめ込み

補題 4.2（「スキームの性質と射」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を環とする。

イデアル $I$ について、 $\operatorname{Spec} A/I \to \operatorname{Spec} A$ は閉はめ込みで、像は $V(I)$ である。
$i\colon Z \to \operatorname{Spec} A$ を閉はめ込みとする。 $Z$ はアフィンスキームで、 $\varphi = i^\#_{\operatorname{Spec} A}\colon A \to \Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)$ は全射である。したがって $I = \operatorname{Ker}\varphi$ とおくと、 $i$ は (1) の閉はめ込みと同値である。
射 $f\colon X \to Y$ と $Y$ の開被覆 $(V_j)$ について、すべての $f^{-1}(V_j) \to V_j$ が閉はめ込み（開はめ込み）なら、 $f$ は閉はめ込み（開はめ込み）である。逆に閉はめ込み（開はめ込み）の、 $Y$ の開集合 $V$ の上への制限 $f^{-1}(V) \to V$ は閉はめ込み（開はめ込み）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 73 件、定義なども含めて 93 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環準同型が誘導する連続写像✓命題 4.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
0 による延長と完全列✓命題 7.2・層
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
  - 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
  - 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 芽の族の層✓補題 4.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキーム
- V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題

これを使っている定理証明で参照している 3 件

被約誘導構造✓定理 4.3・スキームの性質と射
射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射
アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法

アフィンスキームへの閉はめ込み

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件