芽の族の層

$\mathcal{B}$ を $X$ の開基、$\mathcal{F}$ を $\mathcal{B}$ の上の前層（Abel 群、環、$\mathcal{O}$ 加群、集合のどれでもよい）とする。開集合 $U \subseteq X$ に対し

とおき、制限写像を族の制限 $(s_x)_{x \in U} \mapsto (s_x)_{x \in V}$ とする。

1. $\mathcal{F}^+$ は $X$ 上の層である（演算は成分ごと）。
2. $U \in \mathcal{B}$ に対し $\theta_U\colon \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}^+(U)$、$\theta_U(s) = (s_x)_{x \in U}$ とおくと、$\theta$ は $\mathcal{B}$ の上の前層の射 $\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+|_{\mathcal{B}}$ で、すべての $x$ で茎の同型 $\theta_x\colon \mathcal{F}_x \to (\mathcal{F}^+)_x$ を与える。逆写像は $(U, (s_y)_y)$ の類を $s_x$ に写す。
3. $\mathcal{B}$ の上の前層の射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{F}'$ に対し、$\varphi^+((s_x)_x) = (\varphi_x(s_x))_x$ は層の射 $\varphi^+\colon \mathcal{F}^+ \to \mathcal{F}'^+$ を定め、$\varphi^+ \circ \theta = \theta' \circ \varphi$、$(\psi\varphi)^+ = \psi^+\varphi^+$、$\mathrm{id}^+ = \mathrm{id}$ である。
4. $\mathcal{F}$ が $\mathcal{B}$ の上の層なら、すべての $U \in \mathcal{B}$ で $\theta_U$ は全単射である。
5. $\mathcal{G}$ が $X$ 上の層なら、$\sigma_U\colon \mathcal{G}(U) \to (\mathcal{G}|_{\mathcal{B}})^+(U)$、$s \mapsto (s_x)_{x \in U}$ はすべての開集合 $U$ で全単射で、層の同型 $\sigma\colon \mathcal{G} \to (\mathcal{G}|_{\mathcal{B}})^+$ を与える。とくに層の切断は芽の族で決まる。