茎による単射・全射・同型の判定

$\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ を $X$ 上の層（Abel 群、環、$\mathcal{O}$ 加群、集合のどれでもよい）の射とする。

1. すべての開集合 $U$ で $\varphi_U$ が単射であることと、すべての点 $x$ で $\varphi_x$ が単射であることは同値である。
2. すべての点 $x$ で $\varphi_x$ が全射であることと、次の条件は同値である: 任意の開集合 $U$ と $t \in \mathcal{G}(U)$ に対し、$U$ の開被覆 $U = \bigcup_i U_i$ と $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ で $\varphi_{U_i}(s_i) = t|_{U_i}$ となるものがある。
3. 次の 3 条件は同値である: (a) $\varphi$ は同型、(b) すべての $U$ で $\varphi_U$ は全単射、(c) すべての $x$ で $\varphi_x$ は全単射。
4. $\mathcal{P}$ を前層、$\mathcal{G}$ を層とし、$\varphi, \psi\colon \mathcal{P} \to \mathcal{G}$ を前層の射とする。すべての $x$ で $\varphi_x = \psi_x$ なら $\varphi = \psi$ である。