対角射ははめ込み

命題 3.2（「分離射・固有射と付値判定法」§3）・ ✓公理まで証明済み

$f\colon X \to Y$ をスキームの射とする。

$X = \operatorname{Spec} B$ 、 $Y = \operatorname{Spec} A$ がアフィンのとき、 $\Delta_{X/Y}$ は乗法 $B \otimes_A B \to B$ 、 $b \otimes b' \mapsto bb'$ に対応する閉はめ込みである。とくにアフィンスキームの間の射は分離的である。
一般に $\Delta_{X/Y}$ ははめ込みである。
$f$ が分離的であることと、 $\Delta_{X/Y}(X)$ が $X \times_Y X$ の閉集合であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 40 件、定義なども含めて 54 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射
- 加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
    局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
    芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
  - 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム
    Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
    開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
    素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 忠実・充満・本質的全射定義 4.5・圏・関手・自然変換
  - 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換
    圏同値・骨格定義 6.1・圏・関手・自然変換
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
    自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
- 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム
  - 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層

これを使っている定理証明で参照している 4 件

微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
分離性の付値判定法✓定理 5.3・分離射・固有射と付値判定法
分離射・固有射の保存✓命題 6.2・分離射・固有射と付値判定法
被約スキームの射は閉点で決まる✓補題 5.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

対角射ははめ込み

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件