数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 次元・正規性・非特異性と微分の層

微分の層の基本性質

定理 5.2（「次元・正規性・非特異性と微分の層」§5）・ ✓公理まで証明済み

$f\colon X \to Y$ をスキームの射とする。

$\Omega_{X/Y}$ は準連接である。アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} B \subseteq X$ 、 $V = \operatorname{Spec} A \subseteq Y$ で $f(U) \subseteq V$ となるものについて、同型 $\Omega_{X/Y}|_U \cong \widetilde{\Omega_{B/A}}$ があり、 $d$ は Kähler 微分加群の普遍導分 $d_{B/A}$ に対応する。とくに開集合 $U \subseteq X$ について $\Omega_{U/Y} = \Omega_{X/Y}|_U$ である。
$Y$ が局所 Noether で $f$ が局所有限型ならば、 $\Omega_{X/Y}$ は連接である。
（底変換） $Y' \to Y$ を射、 $X' = X \times_Y Y'$ 、 $g'\colon X' \to X$ を射影とする。 $g'^{*}(db) \mapsto d(g'^{\sharp}b)$ を満たす同型 $g'^{*}\Omega_{X/Y} \cong \Omega_{X'/Y'}$ がただ一つ存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 130 件、定義なども含めて 157 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法
- ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 閉埋め込みに沿った順像✓補題 5.1・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
- 右随伴は極限を保つ✓定理 3.1・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 表現対象の一意性✓系 4.3・米田の補題と表現可能関手
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
Kähler 微分加群定義 2.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射
- アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- アフィン空間は Noether 位相空間✓補題 3.3・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
- 既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 係数の拡大と Hom✓補題 2.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 導分の局所化への延長✓補題 4.1・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 5 件

微分の層の二つの完全列✓定理 5.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
特異点の全体は真の閉集合✓系 7.4・次元・正規性・非特異性と微分の層
Euler 完全列と射影空間の標準層✓定理 8.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
素元の微分は生成元✓補題 2.1・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

微分の層の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件