加群と準連接層の圏同値

定理 4.3（「準連接層・連接層と直線束」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を環、 $X = \operatorname{Spec} A$ とする。

$A$ 加群 $M$ と $\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ について、大域切断を取る写像 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M}, \mathcal{F}) \longrightarrow \operatorname{Hom}_A(M, \Gamma(X, \mathcal{F}))$ は全単射で、 $M$ と $\mathcal{F}$ について自然である。とくに $\operatorname{Hom}_A(M, N) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M}, \widetilde{N})$ で、 $M \mapsto \widetilde{M}$ は充満忠実である。
$M \mapsto \widetilde{M}$ は完全関手で、直和と交換し、 $\widetilde{M \otimes_A N} \cong \widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde{N}$ である。 $M$ が有限表示なら $\widetilde{\operatorname{Hom}_A(M, N)} \cong \mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M}, \widetilde{N})$ である。
$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ が準連接であることと、ある $A$ 加群 $M$ について $\mathcal{F} \cong \widetilde{M}$ となることは同値で、このとき $M \cong \Gamma(X, \mathcal{F})$ である。したがって $M \mapsto \widetilde{M}$ は圏同値 $\mathsf{Mod}_A \to \mathsf{QCoh}(X)$ で、 $\Gamma(X, -)$ がその逆である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 80 件、定義なども含めて 103 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 11 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理
- テンソル積は双線形写像の関手を表現する✓命題 6.1・米田の補題と表現可能関手
  - 加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 普遍元定義 4.1・米田の補題と表現可能関手
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
- Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
- 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
- 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
- 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
- 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 五項補題（加群）✓系 4.2・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束
- 大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換
- 圏同値・骨格定義 6.1・圏・関手・自然変換
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
- 自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換

これを使っている定理証明で参照している 8 件

微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束
閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束
引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束
Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束
ねじり層 O(n)✓定理 8.3・準連接層・連接層と直線束
局所自由分解による Ext 層の計算✓命題 3.5・Ext 層と Serre 双対

加群と準連接層の圏同値

閉包の状態

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