準連接性・連接性のアフィン開集合による判定

定理 4.4（「準連接層・連接層と直線束」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をスキーム、 $\mathcal{F}$ を $\mathcal{O}_X$ 加群とする。

$\mathcal{F}$ が準連接であることと、 $X$ のすべてのアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について $\mathcal{F}|_U \cong \widetilde{\Gamma(U, \mathcal{F})}$ となることは同値である。
$X$ が局所 Noether スキームのとき、 $\mathcal{F}$ が連接であることと、 $\mathcal{F}$ が準連接で、すべてのアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について $\Gamma(U, \mathcal{F})$ が有限生成 $A$ 加群であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 86 件、定義なども含めて 109 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理
  - テンソル積は双線形写像の関手を表現する✓命題 6.1・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
  - Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
  - 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
  - テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  - 五項補題（加群）✓系 4.2・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束
  - 大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキーム
- アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題

これを使っている定理証明で参照している 7 件

準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束
閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束
局所自由性の判定✓定理 7.3・準連接層・連接層と直線束
Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束
Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束
アフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーは消える✓定理 7.4・層コホモロジー
$X_f$ 上の切断✓補題 7.6・層コホモロジー

準連接性・連接性のアフィン開集合による判定

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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