アフィン交流補題

補題 4.2（「アフィンスキームとスキーム」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をスキームとし、 $X$ のアフィン開集合についての性質 $P$ が次の 2 条件を満たすとする。

（局所化）アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ が $P$ を満たせば、すべての $f \in A$ について $D(f)$ も $P$ を満たす。
（有限被覆）アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ と、単位イデアルを生成する $f_1, \ldots, f_n \in A$ について、すべての $D(f_i)$ が $P$ を満たせば、 $U$ も $P$ を満たす。

このとき、 $P$ を満たすアフィン開集合による被覆 $X = \bigcup_i U_i$ があれば、 $X$ のすべてのアフィン開集合が $P$ を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 26 件、定義なども含めて 31 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキーム
- 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型が誘導する連続写像✓命題 4.5・局所化と素イデアルのスペクトル
    素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキーム
  - V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
    Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射
射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射
準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束

アフィン交流補題

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件