剰余環と局所化のスペクトル

命題 4.6（「局所化と素イデアルのスペクトル」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mathfrak{a}$ を $A$ のイデアル、 $\pi\colon A \to A/\mathfrak{a}$ を自然な全射とする。 $\pi^{*}$ は $\operatorname{Spec}(A/\mathfrak{a})$ から閉集合 $V(\mathfrak{a})$ への同相写像である。
$S$ を積閉集合とし、 $Y = \{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A : \mathfrak{p} \cap S = \varnothing \}$ に相対位相を入れる。 $\iota^{*}$ は $\operatorname{Spec}(S^{-1}A)$ から $Y$ への同相写像である。とくに $\operatorname{Spec} A_f \cong D(f)$ であり、 $\operatorname{Spec} A_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアル全体と同相である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

環準同型が誘導する連続写像✓命題 4.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 7 件

アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキーム
体と局所環に値をもつ点✓命題 7.2・アフィンスキームとスキーム
アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射
ファイバーの底空間✓命題 5.3・スキームの性質と射
有限射は閉写像でファイバーは有限✓命題 6.2・スキームの性質と射
アフィンスキームの射の像の閉包✓補題 4.1・分離射・固有射と付値判定法
準コンパクト射の像が閉である条件✓補題 4.2・分離射・固有射と付値判定法

剰余環と局所化のスペクトル

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

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