素イデアルと極大イデアル

$R$ を $1 \ne 0$ の可換環とする。

1. 真のイデアル $P$（すなわち $P \ne R$）が素イデアルであるとは、任意の $a, b \in R$ に対し $ab \in P$ ならば $a \in P$ または $b \in P$ が成り立つことをいう。
2. 真のイデアル $M$ が極大イデアルであるとは、$M \subseteq J \subseteq R$ を満たす $R$ のイデアル $J$ が $J = M$ または $J = R$ に限ることをいう。