体と局所環に値をもつ点

命題 7.2（「アフィンスキームとスキーム」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をスキームとする。

$(A, \mathfrak{m})$ を局所環とする。射 $g\colon \operatorname{Spec} A \to X$ に、点 $x = g(\mathfrak{m})$ と茎の写像 $g^\#_{\mathfrak{m}}\colon \mathcal{O}_{X,x} \to A$ の組を対応させる写像は、 $X(A)$ から、点 $x \in X$ と局所準同型 $\mathcal{O}_{X,x} \to A$ の組の全体への全単射である。
$K$ を体とする。 $X(K)$ は、点 $x \in X$ と体の準同型 $\kappa(x) \to K$ の組の全体と 1 対 1 に対応する。
各点 $x \in X$ に対し、(1) で恒等写像に対応する標準射 $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,x} \to X$ があり、その像は $x$ の一般化の全体である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 41 件、定義なども含めて 53 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
- 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム
  - Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
- 忠実・充満・本質的全射定義 4.5・圏・関手・自然変換
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換
  - 圏同値・骨格定義 6.1・圏・関手・自然変換
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
  - 自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環準同型が誘導する連続写像✓命題 4.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキーム
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 位相の基底定義 5.1・位相空間の定義と基本概念
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
  - 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル

これを使っている定理証明で参照している 3 件

分離性の付値判定法✓定理 5.3・分離射・固有射と付値判定法
被約スキームの射は閉点で決まる✓補題 5.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
曲線の点と関数体の離散付値環✓命題 2.3・曲線と Riemann–Roch の定理

体と局所環に値をもつ点

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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