Spec の位相の基本性質

定理 4.4（「局所化と素イデアルのスペクトル」§4）・ ✓公理まで証明済み

環 $A$ について次が成り立つ。

$\{D(f) : f \in A\}$ は Zariski 位相の基底であり、 $D(f) \cap D(g) = D(fg)$ 、 $D(f) = \varnothing \iff f \in \operatorname{nil}(A)$ である。
$\operatorname{Spec} A$ と各 $D(f)$ はコンパクト（Hausdorff 性を仮定しない意味で。準コンパクトともいう）である。
点 $\mathfrak{p}$ の閉包は $V(\mathfrak{p})$ であり、 $\{\mathfrak{p}\}$ が閉集合であることと $\mathfrak{p}$ が極大イデアルであることは同値である。
$\operatorname{Spec} A$ は T0 空間である。
$\operatorname{Spec} A$ の既約閉集合は $V(\mathfrak{p})$ （ $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A$ ）の形のものに限り、 $\mathfrak{p}$ は既約閉集合から一意に定まる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 26 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

位相の基底定義 5.1・位相空間の定義と基本概念
冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  - 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
  - 体定義 5.1・環と体の基礎
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル

これを使っている定理証明で参照している 3 件

構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム
既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキーム
完備多様体の大域正則関数は定数✓定理 8.3・分離射・固有射と付値判定法

Spec の位相の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

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関連するノック 6 問

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