環の基本計算則

命題 3.3（「環と体の基礎」§3）・ ✓公理まで証明済み

$R$ を環とし、 $a, b, c \in R$ とする。このとき次が成り立つ。

(1) $0a = a0 = 0$ 。

(2) $(-a)b = a(-b) = -(ab)$ 。

(3) $(-a)(-b) = ab$ 。特に $(-1)a = -a$ 。

(4) $a(b - c) = ab - ac$ および $(a-b)c = ac - bc$ 。ただし $x - y := x + (-y)$ とする。

(5) $1 = 0$ であることと $R = \{0\}$ であることは同値である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。