環準同型の核

$\varphi \colon R \to S$ を環準同型とし、$\ker\varphi := \{a \in R : \varphi(a) = 0_S\}$ とおく。このとき次が成り立つ。

(1) $\ker\varphi$ は加法群 $(R,+)$ の部分群である。

(2) 任意の $a \in \ker\varphi$ と $r \in R$ に対し $ra \in \ker\varphi$ かつ $ar \in \ker\varphi$。

(3) $\varphi$ が単射であることと $\ker\varphi = \{0\}$ であることは同値である。

(4) $\ker\varphi = R$ となるのは $S$ が零環のときに限る。