左イデアル・右イデアル・両側イデアル

$R$ を環、$I$ を $R$ の部分集合とする。

1. $I$ が $R$ の左イデアルであるとは、$I$ が $R$ の加法についての部分群であり、さらに任意の $r \in R$ と $a \in I$ に対して $ra \in I$ が成り立つことをいう。
2. $I$ が $R$ の右イデアルであるとは、$I$ が $R$ の加法についての部分群であり、さらに任意の $r \in R$ と $a \in I$ に対して $ar \in I$ が成り立つことをいう。
3. 左イデアルかつ右イデアルであるとき、$I$ を $R$ の両側イデアル、あるいは単にイデアルといい、$I \trianglelefteq R$ と書く。

$R$ が可換環のときは 1、2、3 は同じ条件になる。