数学 › 可換環論 › 局所化と素イデアルのスペクトル

V の性質

補題 4.2（「局所化と素イデアルのスペクトル」§4）・ ✓公理まで証明済み

環 $A$ について次が成り立つ。

$V(E) = V((E))$ 。ここで $(E)$ は $E$ で生成されるイデアル。また $V(\mathfrak{a}) = V(\sqrt{\mathfrak{a}})$ 。
$V(0) = \operatorname{Spec} A$ 、 $V(1) = \varnothing$ 。
$\bigcap_\lambda V(E_\lambda) = V\bigl(\bigcup_\lambda E_\lambda\bigr)$ 。
$V(\mathfrak{a}) \cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b})$ 。
$V(\mathfrak{a}) \subseteq V(\mathfrak{b})$ であることと $\sqrt{\mathfrak{b}} \subseteq \sqrt{\mathfrak{a}}$ であることは同値である。

とくに $V(E)$ の補集合全体は位相の開集合系の公理を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
    始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 10 件

主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキーム
アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキーム
アフィン多様体はスキームに埋め込まれる✓定理 7.1・アフィンスキームとスキーム
Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射
被約誘導構造✓定理 4.3・スキームの性質と射
整拡大のスペクトルの写像は全射な閉写像✓系 4.5・整拡大
Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトル
Spec の連結性と冪等元✓命題 4.8・局所化と素イデアルのスペクトル
準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル
記号的冪の性質✓命題 6.2・準素分解と随伴素イデアル

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