記号的冪の性質

命題 6.2（「準素分解と随伴素イデアル」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Noether 環、 $\mathfrak{p}$ を素イデアル、 $m, n \ge 1$ とする。

$\sqrt{\mathfrak{p}^n} = \mathfrak{p}$ であり、 $\mathfrak{p}$ は $\operatorname{Ass}(A/\mathfrak{p}^n)$ のただ一つの極小元である。
$\mathfrak{p}^{(n)}$ は $\mathfrak{p}^n$ の任意の極小な準素分解における $\mathfrak{p}$ 準素成分（孤立成分）に等しい。とくに $\mathfrak{p}^{(n)}$ は $\mathfrak{p}$ 準素で、 $\mathfrak{p}^n \subseteq \mathfrak{p}^{(n)}$ である。
$\mathfrak{p}^{(n)} = \mathfrak{p}^n$ であることと、 $\mathfrak{p}^n$ が準素であることは同値である。とくに $\mathfrak{p}$ が極大イデアルなら $\mathfrak{p}^{(n)} = \mathfrak{p}^n$ である。
$\mathfrak{p}^{(n)}A_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{p}^nA_{\mathfrak{p}}$ 、 $\mathfrak{p}^{(m)}\mathfrak{p}^{(n)} \subseteq \mathfrak{p}^{(m+n)}$ 、 $\mathfrak{p}^{(n+1)} \subseteq \mathfrak{p}^{(n)}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 40 件、定義なども含めて 48 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 素スペクトルと Zariski 位相定義 4.1・局所化と素イデアルのスペクトル
V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアル
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 随伴素イデアルと局所化✓命題 2.4・準素分解と随伴素イデアル
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル
  - 素フィルトレーション✓定理 3.1・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
Lasker–Noether の定理（存在）✓定理 5.3・準素分解と随伴素イデアル
- 既約部分加群は準素✓補題 5.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
準素分解の第一一意性✓定理 5.4・準素分解と随伴素イデアル
- 随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
- 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
準素分解の第二一意性（孤立成分）✓定理 5.5・準素分解と随伴素イデアル
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
- 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
- 随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）

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Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理

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