数学 › 可換環論 › Krull 次元と単項イデアル定理

Krull の単項イデアル定理

定理 4.2（「Krull 次元と単項イデアル定理」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 67 件、定義なども含めて 79 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環

  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大

    • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
• 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル

  • 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
• 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理

  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
  • 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
• イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理

  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  • Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
• 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理

  • 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
  • Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
  • 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
• 記号的冪の性質✓命題 6.2・準素分解と随伴素イデアル

  • 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • Lasker–Noether の定理（存在）✓定理 5.3・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 準素分解の第一一意性✓定理 5.4・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 準素分解の第二一意性（孤立成分）✓定理 5.5・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
• 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル

  • 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
• 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
• Noether 局所環が Artin になる条件✓系 6.5・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• アフィン多様体の次元✓定理 7.2・アフィン代数多様体と座標環
• 層の Hilbert 多項式✓定理 7.6・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
• 高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環
• 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理

関連するノック 3 問

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