数学 › 可換環論 › 離散付値環と Dedekind 環

極大イデアルが単項な Noether 局所整域

系 3.5（「離散付値環と Dedekind 環」§3） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 80 件、定義なども含めて 92 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理

  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環

    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
    • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
    • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  • イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理

    • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
    • Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
    • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理

    • 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
    • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
    • Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
    • 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 記号的冪の性質✓命題 6.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題

    • aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
    • Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • Noether 局所環が Artin になる条件✓系 6.5・Noether 環と Artin 環

    • Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
    • 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
    • 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
• 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理

  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
  • 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
• DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環

  • 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  • 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
  • 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  • 整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
  • 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
• Noether 付値環と Noether Prüfer 整域✓系 5.2・離散付値環と Dedekind 環
• Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環

関連するノック 1 問

• 可換環論 第 60 問