Noether 局所環が Artin になる条件

系 6.5（「Noether 環と Artin 環」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環とする。次は同値である。

$A$ は Artin 環である。
ある $n \ge 1$ で $\mathfrak{m}^n = \mathfrak{m}^{n+1}$ 。
ある $n \ge 1$ で $\mathfrak{m}^n = 0$ 。
$\mathfrak{m}$ は $A$ のただ一つの素イデアルである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
    体定義 5.1・環と体の基礎
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
    多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環
  - 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環
    加群定義 2.1・加群と PID 上の構造定理
    次元定義 5.6・ベクトル空間と線形変換
    組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
    線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
    組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
    Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 2 件

次元 0 の Noether 環✓系 2.5・Krull 次元と単項イデアル定理
Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理

Noether 局所環が Artin になる条件

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件