数学 › 可換環論 › Krull 次元と単項イデアル定理
次元 0 の Noether 環
を Noether 環とする。 であることと、 が Artin 環であることは同値である。 が Noether 局所環なら、これらはある で となることとも同値である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 29 件、定義なども含めて 37 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環
Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
Noether 局所環が Artin になる条件✓系 6.5・Noether 環と Artin 環
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。