Artin 環の基本性質

命題 6.1（「Noether 環と Artin 環」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A \ne 0$ を Artin 環とする。

$A$ の素イデアルはすべて極大イデアルである。
$A$ の極大イデアルは有限個である。
Jacobson 根基 $\operatorname{Jac}(A)$ は冪零である。すなわち、ある $k \ge 1$ で $\operatorname{Jac}(A)^k = 0$ 。とくに $\operatorname{Jac}(A)$ の元はすべて冪零で、 $\operatorname{Jac}(A)$ は冪零元全体と一致する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
  - 体定義 5.1・環と体の基礎
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 8 件

有限射は閉写像でファイバーは有限✓命題 6.2・スキームの性質と射
パラメータイデアルの重複度と CM 性✓定理 5.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環
体上のエタール代数の特徴づけ✓定理 8.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環
Artin 環の構造定理✓定理 6.4・Noether 環と Artin 環
Noether 局所環が Artin になる条件✓系 6.5・Noether 環と Artin 環

Artin 環の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

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