Artin 環の構造定理

定理 6.4（「Noether 環と Artin 環」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A \ne 0$ を Artin 環とし、その相異なる極大イデアルを $\mathfrak{m}_1, \ldots, \mathfrak{m}_r$ とする。ある $k \ge 1$ について環の同型

A \cong A/\mathfrak{m}_1^k \times \cdots \times A/\mathfrak{m}_r^k

があり、各 $A/\mathfrak{m}_i^k$ は唯一の極大イデアル $\mathfrak{m}_i/\mathfrak{m}_i^k$ をもつ Artin 局所環である。 2. 逆に、有限個の Artin 環の直積は Artin 環である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
    体定義 5.1・環と体の基礎
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理

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体上のエタール代数の特徴づけ✓定理 8.4・Kähler 微分と滑らかさの入口

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