体上のエタール代数の特徴づけ

定理 8.4（「Kähler 微分と滑らかさの入口」§8）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を体、 $B \ne 0$ を $k$ 上有限次元の $k$ 代数とする。次は同値である。

有限次分離拡大 $L_1, \ldots, L_r$ について $B \cong L_1 \times \cdots \times L_r$ である。
$B$ はエタール代数である。
$B$ は $k$ 上形式的に不分岐である。
$\Omega_{B/k} = 0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 58 件、定義なども含めて 67 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 11 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限次分離拡大は形式的にエタール✓補題 7.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 分離拡大と Ω = 0✓定理 7.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 形式的に滑らか・エタールな代数の例と性質✓命題 6.2・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
冪等元の持ち上げと直積✓補題 8.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
形式的に不分岐 ⇔ Ω = 0✓命題 6.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 導分と平方零拡大の持ち上げ✓補題 3.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- Kähler 微分加群定義 2.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
Artin 環の構造定理✓定理 6.4・Noether 環と Artin 環
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
第二基本完全列✓定理 5.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 第一基本完全列✓定理 5.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
分離拡大と Ω = 0✓定理 7.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- Jacobi 行列による表示✓系 5.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 第一基本完全列✓定理 5.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
形式的に滑らか・エタールな代数の例と性質✓命題 6.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
第一基本完全列✓定理 5.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 係数の拡大と Hom✓補題 2.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
余接空間と Kähler 微分✓命題 8.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 有限次分離拡大は形式的にエタール✓補題 7.3・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 切断から作る導分✓補題 6.4・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 第二基本完全列✓定理 5.2・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 分離拡大と Ω = 0✓定理 7.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

体上のエタール代数の特徴づけ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 11 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 11 件）