余接空間と Kähler 微分

命題 8.1（「Kähler 微分と滑らかさの入口」§8）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を体、 $B$ を $k$ 代数、 $\mathfrak{m}$ を $B$ の極大イデアルとし、剰余体 $\kappa = B/\mathfrak{m}$ が $k$ 上有限次分離拡大であるとする。このとき

\delta\colon \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \to \kappa \otimes_B \Omega_{B/k}, \qquad x \bmod \mathfrak{m}^2 \mapsto 1 \otimes dx

は $\kappa$ ベクトル空間の同型である。とくに $\kappa = k$ （有理点）なら $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \cong \Omega_{B/k} \otimes_B k$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 38 件、定義なども含めて 45 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限次分離拡大は形式的にエタール✓補題 7.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題
  - 多項式環定義 6.1・環と体の基礎
- 分離拡大と Ω = 0✓定理 7.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 形式的に滑らか・エタールな代数の例と性質✓命題 6.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
切断から作る導分✓補題 6.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 係数の拡大と Hom✓補題 2.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
第二基本完全列✓定理 5.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 第一基本完全列✓定理 5.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
  - 係数の拡大と Hom✓補題 2.3・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
  - Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
分離拡大と Ω = 0✓定理 7.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- Jacobi 行列による表示✓系 5.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - 第二基本完全列✓定理 5.2・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
  - Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 第一基本完全列✓定理 5.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
素元の微分は生成元✓補題 2.1・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
体上のエタール代数の特徴づけ✓定理 8.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
Jacobi 判定法✓定理 9.4・Kähler 微分と滑らかさの入口

余接空間と Kähler 微分

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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