数学 › 可換環論 › Kähler 微分と滑らかさの入口

形式的に滑らか・エタールな代数の例と性質

命題 6.2（「Kähler 微分と滑らかさの入口」§6）・ ✓公理まで証明済み

多項式環 $A[x_1, \ldots, x_n]$ は $A$ 上形式的に滑らかである。
積閉集合 $S \subseteq A$ について、 $S^{-1}A$ は $A$ 上形式的にエタールである。
$B$ が $A$ 上、 $B'$ が $B$ 上形式的に滑らか（不分岐、エタール）なら、 $B'$ は $A$ 上形式的に滑らか（不分岐、エタール）である。
$B$ が $A$ 上形式的に滑らか（エタール）なら、定義の $J$ を冪零イデアル（ある $N$ で $J^N = 0$ ）に替えても持ち上げが存在する（存在して一意である）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題
- 多項式環定義 6.1・環と体の基礎
局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環準同型定義 7.1・環と体の基礎

これを使っている定理証明で参照している 2 件

有限次分離拡大は形式的にエタール✓補題 7.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
体上のエタール代数の特徴づけ✓定理 8.4・Kähler 微分と滑らかさの入口