多項式環

定義 6.1（「環と体の基礎」§6）

$R$ を可換環とする。 $R$ の元の列 $(a_0, a_1, a_2, \ldots)$ で、有限個を除いてすべて $0$ であるもの全体に、

(a_i) + (b_i) := (a_i + b_i), \qquad (a_i)\cdot(b_i) := (c_k), \quad c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j

で演算を定めたものを $R$ 上の多項式環といい $R[x]$ と書く。 $x := (0, 1, 0, 0, \ldots)$ とおくと、各元は

f = a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m

と一意に書ける。 $f \ne 0$ のとき $a_m \ne 0$ となる最大の $m$ を $f$ の次数といい $\deg f$ と書く（ $\deg 0$ は定義しない）。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。